Literatur und Messwerte

Literatur-Validierungsziele: Blockflöte (2D-LBM)

Stand: 2026-10-20. Zweck: quantitative Prüfgrößen für die 2D-Lattice-Boltzmann-Simulation (Kernspalt → ebener Strahl → Labium → Rohrresonator). Es stehen nur Zahlen hier, die in einer Quelle gelesen wurden. Eigene Umrechnungen sind als solche markiert.

Zuverlässigkeit - [primär gelesen]: Originalarbeit (Volltext, oft Autorenkopie oder Preprint) selbst gelesen. Mit dem Zusatz Abb. wurde der Wert aus einer Abbildung abgelesen bzw. digitalisiert (Ablesefehler ca. ±2–5 %). - [sekundär gelesen]: Wert stammt aus einer zuverlässigen Arbeit, die die Originalquelle zitiert oder nachrechnet. Diese Arbeit habe ich gelesen. - [nicht verifiziert]: Weder Original noch eine gelesene Sekundärquelle bestätigen den Wert. - [abgeleitet]: eigene Rechnung aus gelesenen Daten. Die Annahmen stehen jeweils dabei.

Notation (vereinheitlicht) - h: Kernspalthöhe am Austritt - W: Aufschnitt, also der Abstand vom Kernspaltaustritt zur Labiumspitze. Yokoyama nennt ihn l, Brown/Vaik h. - H: Fensterbreite quer zum Strahl. Die Aufgabe nennt sie „b“. Hier ist b dagegen die Bickley-Halbwertsbreite. - y₀: Labium-Offset gegen die Strahlmittellinie - U_B = √(2p/ρ): Bernoulli-(Mittellinien-)Geschwindigkeit - θ = U_B/(W·f₁): reduzierte Strahlgeschwindigkeit nach Auvray. f₁ ist die erste Rohrresonanz. - Re = U·h/ν, St = f·W/U

Übersicht

Prüfgröße	Zielwert/Bereich	Bedingungen	Quelle	Zuverlässigkeit
Aufschnittverhältnis W/h	≈ 4. Gemessen: 3.5–5 (4.0/0.8–1.0 Zen-On Alt; 4.83/1.09 Tenor; 4.5/1.3 Yamaha Alt; 4.0/1.0 Sopran; Yamaha S/A 4.1/4.6)	reale Blockflöten	Auvray 2012; Price 2015; Yokoyama 2015; Giordano & Saenger 2023; Dequand 2003	[primär gelesen] (Dequand: Abstract, [sekundär gelesen])
Labiumwinkel	14–15° (Zen-On ≈15°, Tenor 14.8°); Modelle 12–25°	reale Flöten	Auvray 2012; Price 2015; Dequand 2003	[primär gelesen]
Anblasschwelle (1. Register)	θ₀ ≈ 2.5 (⇒ ≈ 20 Pa); f/f₁ ≈ 0.42 an der Schwelle	Zen-On-Altkopf + Zylinder Ø 19 mm, l = 265 mm, f₁ = 564.5 Hz, W = 4 mm	Auvray 2012 (Abb. 7/8)	[primär gelesen, Abb.] + [abgeleitet]
Überblasschwelle 1→2 (Druck steigt)	θ₁→₂ ≈ 16.0 (⇒ U_B ≈ 36 m/s, p ≈ 780 Pa)	wie oben, quasistatisch (≈3 min Rampe)	Auvray 2012	[primär gelesen, Abb.] + [abgeleitet]
Rücksprung 2→1 (Druck fällt)	θ₂→₁ ≈ 12.3 (⇒ U_B ≈ 28 m/s, p ≈ 460 Pa); Hysterese Δθ ≈ 3.7	wie oben	Auvray 2012	[primär gelesen, Abb.] + [abgeleitet]
Dasselbe Instrument, h = 1 mm	p₁→₂ ≈ 695 Pa, p₂→₁ ≈ 534 Pa (θ ≈ 15.1 bzw. 13.2)	ohne Vokaltrakt-Kopplung	Auvray et al. 2015	[primär gelesen] + [abgeleitet]
Schwellen mit echten Griffen (Alt)	Kunstmund p₁→₂ ≈ 230 (F4), 255 (G4), 305 (A4), 505 (B♭4), 490 Pa (B4); Hysterese ≈ 60–95 Pa	Zen-On-Alt; Rampe	Terrien et al. 2015 (Abb. 2/3)	[primär gelesen, Abb.]
Rampenabhängigkeit der Schwellen	a = 10→400 Pa/s: p₁→₂ +45 %, p₂→₁ −16 % (Kunstmund; Modell +15.5 % / −18 %); p_dyn − p_stat ∝ a^(2/3)	Griff F4, Alt; das a^(2/3)-Gesetz gilt für 5 Griffe	Terrien et al. 2015	[primär gelesen]
Frequenz am Resonanzpunkt	f/f₁ = 1.00 bei θ ≈ 11.5; Knick bei θ ≈ 5–6 (f/f₁ ≈ 0.95)	Auvray-Aufbau	Auvray 2012 (Abb. 7)	[primär gelesen, Abb.]
Tonhöhenanstieg mit Blasdruck	1. Register ≈ 25–35 Cent je Druckverdopplung (θ = 8…15); 2. Register ≈ 24; Tenor 25–60 je nach Note	quasistatisch	Auvray 2012 (digitalisiert); Price 2015 (digitalisiert); Bak 1969 via Giordano 2014: f ∝ u^0.05 ≙ 30 Cent	[abgeleitet] / Bak: [sekundär gelesen]
Phasengeschwindigkeit c_p/U_j (langer Kanal)	≈ 0.4 laminar (Re = 500), ≈ 0.3 turbulent (Re = 3000); kaum frequenzabhängig (St_h 0.05–1.15)	h = 1 mm, CO₂-Strahl, Schlieren	de la Cuadra, Vergez, Fabre 2007	[primär gelesen]
c_p/U_j (kurzer Kanal, scharfkantig)	≈ 0.6–1.0	Kanal 1 mm lang, h = 1 mm	de la Cuadra et al. 2007 (Abb. 14)	[primär gelesen, Abb.]
c_p/U (Coltman)	0.44–0.5, frequenzunabhängig	Spalt 1.59 mm, langer Kanal	Coltman 1968 via Fletcher & Thwaites 1979	[sekundär gelesen]
Bickley-Theorie (reibungsfrei)	c_p/U₀: 0.30 (St_b→0), 0.40 (0.25), 0.50 (0.6), 0.67 (1.32); μb max ≈ 0.28 bei St_b ≈ 0.25, μ = 0 ab St_b ≈ 1.33	St_b = ωb/U₀	Nolle 1998 / Mattingly & Criminale, als Kurve in Price 2015 (Abb. 5)	[sekundär gelesen, Abb.]
Räumliche Anfachung	α_i = β/h mit β ≈ 0.3 (Fit für die Flöte: 0.26); gemessen μ ≈ 400–1000 m⁻¹, μb ≈ 0.4–0.7; Anfachung endet bei kb ≈ 1.2–2.5	h bzw. 2l = 0.5–1 mm	Auvray 2012; Fletcher & Thwaites 1979	[primär gelesen]
Schneidenton Stufe I, f·W/U	0.42–0.45 (Brown), 0.43–0.47 (Vaik, Blockprofil), 0.48–0.51 (Vaik, Parabelprofil; U = Mittelwert)	W/h = 3–6, Re ≈ 300–1300	Brown 1937 via Vaik 2014; Vaik et al. 2014	[sekundär gelesen] / [primär gelesen] + [abgeleitet]
Schneidenton: Einsatz	Stufe I ab Re ≈ 60 (intermittierend), stabil ab Re ≈ 100; erst ab W/h ≈ 3–4; Stufe II ab Re ≈ 200–250 (bei W/h ≈ 10)	Blockprofil, δ = 1 mm	Vaik et al. 2014	[primär gelesen]
2. Harmonische gegen Labium-Offset	Minimum bei y₀ ≈ 0, ≈ 25 dB unter ihrem Maximum; Phase springt dort um 180°; Grundton fast konstant (Plateau ±1 mm); passt zu a/b ≈ 2	Orgelpfeife: 1 mm Spalt, Aufschnitt 10 mm, 50 Pa	Fletcher & Douglas 1980	[primär gelesen, Abb.]
Mündungskorrektur ungeflanscht (3D)	Δl/a = 0.6133 (ka→0); \|R\| ≈ 1 − (ka)²/2; Werte bei ka = 0.5/1.0/1.5: \|R\| = 0.894/0.694/0.503, Δl/a = 0.588/0.531/0.472	dünnwandig	Levine & Schwinger 1948 via Silva et al. 2009	[sekundär gelesen] + [abgeleitet]
Mündungskorrektur 2D (ebener Kanal, geflanscht)	ΔL/a ≈ (3 − 2γ_E − 2 ln ka)/π, divergiert für ka → 0; ≈ 2.5a bei ka = 0.046 (gültig für ka < 0.5)	Kanalhöhe 2a	Miyamoto et al. 2013, Anhang A	[primär gelesen]
Mund-Inertanz (Tenor)	effektive Länge L = 8.9 mm aus M = ρL/(W·H); Treiber-Anteil M_d = 0.88ρ/H (≈ 46 %)	W = 4.83 mm, H = 14.7 mm, ohne Anblasen	Price et al. 2015 (Verge-Potentialrechnung)	[primär gelesen]
Blasdrücke (Tenor, temperiert gestimmt)	C4 ≈ 130, G4 ≈ 220, C5 ≈ 245, G5 ≈ 310, C6 ≈ 345 Pa; insgesamt etwa 60–750 Pa	Yamaha YRT-304B II, 22 °C	Price et al. 2015 (Abb. 12)	[primär gelesen, Abb.]
Blasdruck (Querflöte)	p ≈ 0.008·f mbar (≈ 0.8 Pa/Hz·f), ±50 %	4 Spieler	Fletcher 1975	[primär gelesen]
CFD-Auflösung früherer Arbeiten	10 Zellen/h (Skordos 2D-LBM; Giordano 3D-FD) bis 25 Zellen/h (Yokoyama 3D-DNS)		siehe Abschnitt 8	[primär gelesen]
Jet-Drive-Quelle	Δp_src = (ρ δ_d b U_B/W)·d/dt tanh((η − y₀)/b), δ_d = (4/π)√(2hW), b = 2h/5; Wirbelverlust Δp_los = −½ρ(v/α_vc)² sgn v, α_vc ≈ 0.6	Jet-Drive-Modell	Auvray 2012; Auvray 2014 (nach Verge 1997 und Fabre et al. 1996)	[primär gelesen] (Original Verge/Fabre: [nicht verifiziert])

1 Mundgeometrie

1.1 Gemessene oder modellierte Geometrien

Instrument / Modell	h	Kernspalt (Länge, Form)	W	W/h	H (Fensterbreite)	Labium	Offset y₀	Fasen	Bohrung am Kopf	Quelle, Zuverlässigkeit
Zen-On Bressan Alt, Kopf + Messingzylinder (Forschungsinstrument), l = 265 mm vom Kernspaltaustritt bis zum offenen Ende	0.8 mm (Tab. I); Text: Austritt 12.5 × 0.98 mm²	46 mm, leicht konvergent (Eingang 13.6 × 1.5 mm²), Querschnitt Kreisringsegment	4 mm	≈ 4–5	12 mm; „Ohren“ 7.3 mm lang	scharf, ≈ 15°, quer leicht gekrümmt	im Modell 0 (Annahme); Auvray 2014: y₀ = 0.1 mm	–	Ø 19 mm (Zylinder 0.5 mm Wand)	Auvray 2012, [primär gelesen]
dasselbe Instrument	1 mm	–	4 mm	4	–	–	–	–	Ø 19 mm, Länge 26.5 cm, f ≈ 565 Hz	Auvray et al. 2015, [primär gelesen]
Yamaha YRA-28BIII Alt, nach dem 3. Tonloch gekürzt	1.3 mm (am Beginn der Fasen)	–	4.5 mm	3.5	–	–	–	1.0 mm (Skizze)	R = 9.4 mm am Fenster, R = 8.5 mm am Ende; Fenster → Ende 198 mm	Yokoyama et al. 2015 (Abb. 3), [primär gelesen, Abb.]
Yamaha „Typ S“ / „Typ A“ (zwei Kopfformen)	h/t = 3.7 / 3.0 mit t = 0.35 mm, also ≈ 1.30 / 1.05 mm	S gerade und weiter; A leicht gekrümmt	l/h = 4.1 / 4.6, also ≈ 5.3 / 4.9 mm	4.1 / 4.6	–	–	y_e/h = −0.078 / −0.151	–	–	Yokoyama et al. 2016, [primär gelesen]; mm-Werte [abgeleitet]
Yamaha YRS-20 Sopran	1.0 mm	Breite 10 mm	4.0 mm	4	10 mm	–	Labiumspitze auf Höhe der Kanalunterkante (y₀ ≈ −h/2)	untere Fase ≈ 0.5 mm	Simulationsmodell: ~12 mm am Labium, verjüngt auf 8.5 mm	Giordano & Saenger 2023, [primär gelesen]
Yamaha YRT-304B II Tenor	1.09 mm (Eingang 1.95 mm)	72.0 mm lang, Breite 14.7 mm, gekrümmt (Radius 27 mm)	4.83 mm	4.4	14.7 mm	14.8°, quer gekrümmt	mittig	zwei 45°-Fasen, 0.7 mm tief	R = 12.36 mm	Price et al. 2015, [primär gelesen]
Alt „typisch“	Kanal ≈ 10 mm × 2 mm	≈ 60 mm	Aufschnitt 3–4 mm	–	–	–	nahezu mittig	–	–	Fletcher & Douglas 1980, [primär gelesen]
3D-NS-Modell („etwa Sopranino“)	1.0 mm	gerade, L_c = 8 mm, Poiseuille-Einströmung	4.0 mm	4	10 mm (quadratisches Rohr 10 × 10 mm, L = 195 mm)	≈ 12° (tan = 0.2)	mittig oder an der Kanalunterkante	Varianten: keine, eine (unten) oder zwei Fasen 45° × 0.4 mm	10 × 10 mm	Giordano 2014, [primär gelesen]
2D-LBM-Sopran, gedackt 20 cm	1 mm	40 mm	4 mm	4	(2D)	≈ 14°	Spitze 0.1 mm unter Kanalmitte (y₀/h = −0.1)	–	Rohr 13.4 mm breit	Skordos & Sussman 1995, [primär gelesen]
2D/3D-LES-Modell, gedackt	d = 1 mm	e = 3 mm	l = 5 mm	5	3D: 10 mm	25°	–	–	Rohrhöhe 10 mm, L = 90 mm	Miyamoto et al. 2013, [primär gelesen]
Pfeifen-Studie	–	–	–	Blockflöte fest ≈ 4	–	Blockflöte 15°, Querflöte 60°	–	–	–	Dequand et al. 2003, Abstract, [sekundär gelesen]

1.2 Kanallänge und Fasen

Ségoufin et al. 2000 (nur Abstract gelesen) [sekundär gelesen]: Ein kurzer Kernspalt macht die Flöte bei kleinen Drücken besser kontrollierbar und obertonreicher. Er senkt aber den Überblasdruck deutlich. Fasen stabilisieren nur den langen Kernspalt und erweitern dort den Dynamikbereich je Registerton. Am kurzen Kernspalt helfen sie nicht. Giordano 2014 berichtet: Die Studie lief bei W/h = 4, und die langen Kanäle waren so gewählt, dass sich Poiseuille-Strömung ausbildet [sekundär gelesen]. Konkrete mm-Werte aus Ségoufin 2000: [nicht verifiziert].
Kanalvarianten nach Ségoufin, verwendet bei de la Cuadra et al. 2007 [primär gelesen]: lang 27 mm gegen kurz 1 mm, jeweils h = 1 mm. Austritt eckig, abgerundet oder mit 45°-Fase.
Dicke der Labiumspitze: t = 0.35 mm bei Yamaha-Instrumenten (Yokoyama 2016) [primär gelesen]. Ein Abrunden oder Abstumpfen der Lippe von 30° auf bis 3 mm Dicke änderte die Harmonischen-Pegel der Orgelpfeife nicht (Fletcher & Douglas 1980) [primär gelesen].
Lyons 1981 (Geometrie des Zen-On-Alts) und Martin 1994 (The Acoustics of the Recorder): [nicht verifiziert], nicht gelesen.

Hinweis für die 2D-LBM: Geometrie und Profil der Kernspaltmündung (Poiseuille oder abgeflacht) ändern c_p/U_j um bis zu einen Faktor 2 (Abschnitt 3). Kanal-Länge-zu-Höhe und Fasen sollten daher mit dem Vergleichsexperiment übereinstimmen. Für einen Vergleich mit Auvray 2012 eignet sich ein langer, leicht konvergenter Kanal (46 mm), W = 4 mm und h = 0.8–1 mm.

2 Registerwechsel (Überblasen), Hysterese und Anblasschwelle

2.1 Auvray, Fabre & Lagrée 2012 (Kernquelle)

Zitat: R. Auvray, B. Fabre, P.-Y. Lagrée, „Regime change and oscillation thresholds in recorder-like instruments“, J. Acoust. Soc. Am. 131(2), 1574–1585 (2012), DOI 10.1121/1.3672815. Gelesen: Autorenkopie http://www.lmm.jussieu.fr/~lagree/TEXTES/PDF/auvray11.pdf [primär gelesen]

Aufbau: - Instrument wie in Tab. 1.1, Zeile 1. Kunstmund 1.5 dm³, N₂/O₂-Gemisch, Druck langsam rauf und runter (etwa 3 min). - U_B = √(2p_m/ρ) mit ρ = 1.19 kg/m³, Kontrollparameter θ = U_B/(W f₁). - Modalparameter der Admittanz (Tab. I): ω₁ = 3547 rad/s, also f₁ = 564.5 Hz. ω₂/ω₁ = 2.023, ω₃/ω₁ = 3.066. Dämpfungen ε₁ = 0.0397, ε₂ = 0.0318, ε₃ = 0.0285, entsprechend Q ≈ 1/ε ≈ 25 / 31 / 35 [abgeleitet, Annahme Q = 1/ε für die Modalform ω_n² − ω² + jε_nω_nω].

Messwerte, aus Abb. 7 digitalisiert, mit f/f₁ und f₁ = 564.5 Hz [primär gelesen, Abb.]:

θ	2.5	3	4	5	6	7	8	10	12	13	15	17	19
1. Register	0.42 (Einsatz)	0.50	0.70	0.91	0.955	0.969	0.975	0.993	1.002	1.003	1.010	–	–
2. Register	–	–	–	–	–	–	–	–	–	1.978	1.989	2.000	2.007

Schwellen: θ₁→₂ ≈ 16.0 und θ₂→₁ ≈ 12.3. Das Modell trifft diese Werte bei β = 0.26, γ = 0.4 und α_vc = 0.7, weil die Parameter genau auf Frequenz und Hysterese angepasst wurden.
Umgerechnet mit W f₁ = 2.258 m/s und ρ = 1.19 [abgeleitet]:
- Einsatz: U_B ≈ 5.8 m/s, p ≈ 20 Pa.
- 1→2: U_B ≈ 36.1 m/s, p ≈ 777 Pa.
- 2→1: U_B ≈ 27.8 m/s, p ≈ 459 Pa.
- Re = U_B·h/ν an der Schwelle 1→2 ≈ 1900 (h = 0.8 mm) bis 2400 (h = 1 mm).
Amplitude p·S/(S_w ρ c₀ U_B) aus Abb. 8 [primär gelesen, Abb.]:
- 1. Register: Maximum ≈ 0.24 bei θ ≈ 9–10, ≈ 0.18 bei θ = 16. Bei θ ≈ 2.6 steigt sie steil von etwa 10⁻³ an.
- 1. Register: ≈ 0.28 bei θ = 12.3 bis ≈ 0.37 bei θ = 20.
- Das Jet-Drive-Modell unterschätzt die Amplitude etwa um den Faktor 2.
Modellempfindlichkeit (Abb. 5) [primär gelesen, Abb.]:
- θ₁→₂ liegt zwischen ≈ 15.3 und 25.6 für β = 0.2–0.6 und α_vc = 0.5–0.9. Dieser Wert wird von den nichtlinearen Wirbelverlusten bestimmt.
- θ₂→₁ liegt zwischen ≈ 11.4 und 12.9 und hängt nicht von α_vc ab. Das linearisierte Modell gibt 9.4–12.5.
- Das linearisierte Modell setzt θ₁→₂ mindestens eine Größenordnung zu hoch an.
- Die Anblasschwelle wird vom Modell schlecht getroffen, weil es Äolsche Regime überschätzt.
Phasenbedingung des linearen Modells: −ωτ + π/2 + arg Y(ω) = 2nπ mit τ = W/(γU_B). An der Resonanz (arg Y = 0) folgt θ = 4/γ ≈ 10 für γ = 0.4 [abgeleitet]. Das passt zu f/f₁ ≈ 1 bei θ ≈ 11–12 im Experiment.

2.2 Weitere Schwellenmessungen

Auvray, Ernoult, Terrien, Fabre, Vergez, Lagrée 2015, „Effect of changing the vocal tract shape on the sound production of the recorder“, Acta Acust. united Acust. 101(2), 317–330, DOI 10.3813/AAA.918829. Gelesen: arXiv:1601.05545 [primär gelesen].
- Gleiches Instrument (h = 1 mm), Kunstmund 5.6·10⁻⁵ m³, Dreiecksrampe 50–1200 Pa.
- Ohne Kopplung: p₁→₂ ≈ 695 Pa und p₂→₁ ≈ 534 Pa, entsprechend θ ≈ 15.1 / 13.2 [abgeleitet, ρ = 1.2].
- Mit Vokaltrakt-Kopplung (maximaler Gewinn) verschiebt sich p₁→₂ auf 630–745 Pa und p₂→₁ auf 495–520 Pa. Die Tonhöhe ändert sich um ≈ 7 Cent.
Terrien, Blandin, Vergez, Fabre 2015, „Regime change thresholds in recorder-like instruments: influence of the mouth pressure dynamics“, Acta Acust. united Acust. 101(2), 300–316, DOI 10.3813/AAA.918828. Gelesen: arXiv:1403.7487 [primär gelesen].
- Zen-On-Alt mit echten Griffen.
- Kunstmund p₁→₂ (Abb. 2): ≈ 230 Pa (F4), 255 (G4), 305 (A4), 505 (B♭4), 490 Pa (B4) [Abb.]. Umgerechnet ist θ₁→₂ ≈ 13–16 bei W = 4 mm und f = Nennfrequenz [abgeleitet]. Hysterese des Kunstmunds ≈ 60–95 Pa (Abb. 3).
- Ein erfahrener Spieler erreicht 95–240 % höhere Schwellen, ein Laie liegt innerhalb von −13 % bis +29 % am Kunstmund.
- Langsame Rampe für G4: p₁→₂ ≈ 258 Pa bei a = 40 Pa/s, ≈ 295 Pa bei a = 350 Pa/s. p₂→₁ ≈ 142 Pa bei 350 Pa/s.
- Modell (Fortsetzungsrechnung): statische Schwellen G4 = 311.5 / 259 Pa, F4 p₁→₂ = 294.3 Pa.
- Rampengesetz: p_dyn = p_stat + (3/(2α))^(2/3)·a(2/3).
- Griff A4, Kunstmund: Bei langsamer Rampe tritt ein quasiperiodisches Regime auf, bei 20 Pa/s zwischen 300 und 400 Pa, bei 100 Pa/s zwischen 340 und 400 Pa. Bei schnelleren Rampen fehlt es.
Yokoyama et al. 2015 [primär gelesen]: Gekürzte Yamaha-Altblockflöte. Sprung ins 2. Register bei M = 0.087 (≈ 30 m/s). Die Hysterese ist kleiner als 1 m/s.
Yokoyama et al. 2016 [primär gelesen, Abb. 3]: Im Experiment liegt Typ S ab U₀ ≈ 27 m/s im 2. Register, Typ A erst ab ≈ 56 m/s. In der Rechnung ist S bei 33 m/s und A bei 65 m/s im 2. Register, die Zwischenwerte wurden nicht gerechnet. Der Unterschied S/A wird richtig wiedergegeben.
Giordano & Saenger 2023 [primär gelesen]:
- Sopran C5 → C6 bei mittlerer Strahlgeschwindigkeit ≈ 10 m/s, bistabil bei 9.1 und 10.6 m/s. Die 3D-Rechnung zeigt Hysterese bei ≈ 11 m/s.
- Umgerechnet: θ_mittel ≈ 4.8, also deutlich kleiner als bei Auvray [abgeleitet, Mittel- statt Mittelliniengeschwindigkeit]. Die Schwellen sind stark instrumenten- und griffabhängig.
Giordano 2014 [primär gelesen]: 3D-Modell mit f₁ ≈ 1380 Hz. Die 2. Harmonische dominiert ab u ≈ 37 m/s (Mittelliniengeschwindigkeit). Ab ≈ 35 m/s macht sich der Übergang bemerkbar, unter ≈ 20 m/s dominiert der Schneidenton.
Auvray et al. 2014 [primär gelesen]:
- Jet-Drive ist bei W/h = 4 für u₀/(fW) > 5 angemessen, darunter eher das diskrete Wirbelmodell.
- Kritisches W/h ≈ 2.3 für die 1. hydrodynamische Mode und ≈ 13 für die 2. Kritisches λ_h/h ≈ 9–10.
- Im Experiment trat das äolische Regime (m = 1, f₁) mit maximaler dimensionsloser Amplitude 2.5·10⁻² auf.
Verge 1994/1995, Fletcher 1976 (Überblasen): Schwellenwerte [nicht verifiziert]. Die Verge-Dissertation (TU/e) ist hinter Cloudflare, die Fletcher-1976-PDF wurde nur durchsucht.

Hinweis für die 2D-LBM: - Rampen sind in der LBM praktisch nur schnell machbar. Nach Terrien verschiebt das p₁→₂ nach oben und p₂→₁ nach unten. Für statische Schwellen sollte man stationäre Druckstufen fahren, eventuell mit Startzustand aus dem anderen Register. - Vergleichsgröße ist θ, nicht p. Es kommt darauf an, ob U_B Bernoulli-Mittellinie oder Mittelwert ist.

3 Strahl: Phasengeschwindigkeit und Anfachung

de la Cuadra, Vergez, Fabre 2007, „Visualization and analysis of jet oscillation under transverse acoustic perturbation“, J. Flow Vis. Image Process. 14(4), 355–374, DOI 10.1615/JFlowVisImageProc.v14.i4.20. Gelesen: arXiv:0811.0333 [primär gelesen].
- Aufbau: CO₂-Strahl, h = 1 mm, Re = 500 (U_b ≈ 7.5 m/s, laminar) und Re = 3000 (≈ 45 m/s, turbulent). Anregung 70–1400 Hz bzw. 1200–2900 Hz, also St_h = f·h/U_b ≈ 0.05–1.15. v_ac/U_j ≈ 0.5 % (laminar) bzw. 0.27 % (turbulent).
- Ergebnis: c_p/U_b ≈ 0.4 (laminar) und ≈ 0.3 (turbulent), nahezu frequenzunabhängig.
- Nahe am Austritt ist c_p höher. Die Mittelliniengeschwindigkeit fällt wie x^−0.33 (laminar) bzw. x^−0.53 (turbulent).
- Die Amplitude wächst etwa exponentiell bis x/h ≈ 11 (Re = 500, St = 0.2).
- Langer Kanal (27 mm, Austritt eckig, rund oder 45°): c_p/U_b ≈ 0.35–0.45. Kurzer Kanal (1 mm, eckig): ≈ 0.6–1.0 (Abb. 14).
Fletcher & Thwaites 1979, „Wave propagation on an acoustically perturbed jet“, Acustica 42, 323–334. Gelesen: Scan https://newt.phys.unsw.edu.au/music/people/publications/Fletcheretal1979a.pdf [primär gelesen].
- Bedingungen: Spalt 0.5–1 mm, 150–1500 Hz, effektiver Druck p₀ bis ≈ 100 Pa. Bei mehr Druck oder Spalten über 1 mm wird der Strahl turbulent (Re ≈ 1000).
- Bei Re < ≈ 1000 ist die Wellengeschwindigkeit u längs des Strahls konstant. Sie hängt vom Impulsflussintegral J = ∫V²dy ab.
- Bei tiefen Frequenzen gilt u ≈ 0.7(Jω)^(1/3), ±10 %, für 1000 < ω < 6000 rad/s und 0.1 < J < 0.3 m³/s². Bei hohen Frequenzen sättigt sie bei u_∞ ≈ 50·J (SI, ±10 %). Übergang bei ω_c ≈ 3·10⁵·J².
- Gemessen sind u ≈ 2–9.5 m/s bei p₀ = 20–100 Pa (Abb. 7). Bei p₀ = 100 Pa und 1-mm-Spalt sind das ≈ 4.5 m/s (200 Hz) bis 9.5 m/s (1500 Hz), mit U_B ≈ 13 m/s also u/U_B ≈ 0.35–0.75 [abgeleitet].
- Anfachung über 8 mm Strahllänge: μ ≈ 400–1000 m⁻¹. μb steigt auf ≈ 0.4 bei kb ≈ 0.5 und bleibt dann bei 0.5–0.7. Ab kb ≈ 1.2 (1-mm-Strahl) bis 2.5 (0.5-mm-Strahl) gibt es keine Anfachung mehr. Die Theorie sagt kb = 2.0. b ≈ 0.7 mm beim 1-mm-Spalt, b ≈ 0.45 mm beim 0.5-mm-Spalt.
- Coltman 1968, über Fletcher & Thwaites [sekundär gelesen]: Spalt 1.59 mm, u = 0.44–0.5·V, frequenzunabhängig.
Price, Johnston, McKinnon 2015, JASA 138(5), 3282–3292, DOI 10.1121/1.4935400. Gelesen: arXiv:1502.02170 [primär gelesen].
- Abb. 5 zeigt die reibungsfreie Bickley-Lösung, die Nolle 1998 nach Mattingly & Criminale 1971 tabelliert hat [sekundär gelesen, Abb.]:

St_b = ωb/U₀	0	0.05	0.25	0.4	0.6	0.8	1.0	1.32
c_p/U₀	0.30	0.36	0.40	0.44	0.50	0.56	0.60	0.67
μb	≈0.04	≈0.15	0.28 (max)	0.25	0.19	0.13	0.08	0

Nolle fand Gl. ξ = a(1 − e^{μs}e{−iωs/c_p}) besser als Fletchers Variante mit tanh(μs). Die Strahlverstärkung musste für den Tenorkopf auf g = 0.145 reduziert werden.
Modellwerte nach de la Cuadra 2005 (Dissertation, nicht gelesen), übernommen von Auvray 2012/2014 [sekundär gelesen]: α_i = β/h mit β ≈ 0.3, c_p = γU_B mit γ ≈ 0.4, Rezeptivität η₀/h = v_ac/U_B. Auvrays Fit an die Flöte ergab β = 0.26, laut ihm kleiner als in der Literatur (≈ 0.5). Terrien 2015 nennt c_v ≈ 0.4U_j [primär gelesen].
Plausibilitätscheck [abgeleitet]: Für h = 1 mm (b = 0.4 mm), f = 500 Hz und U₀ = 30 m/s ist St_b ≈ 0.04. Nach der Tabelle folgt c_p/U₀ ≈ 0.35 und μ ≈ 0.12/b ≈ 300 m⁻¹ ≈ 0.3/h, konsistent mit β ≈ 0.3 und γ ≈ 0.4.
Fletcher 1975: Wellengeschwindigkeit ≈ 0.4 der Teilchengeschwindigkeit, nach Coltman [sekundär gelesen].
Nolle 1998 (JASA 103, 3690) und Yoshikawa 1998 (JASA 103, 2706) selbst: [nicht verifiziert].

Prüfvorschlag LBM: Freistrahl im transversalen Wechselfeld (zwei gegenphasige Schallquellen wie bei de la Cuadra oder Fletcher & Thwaites) bei Re = 500, langer Kanal. Dann Phase gegen x fitten: Erwartet c_p/U ≈ 0.4. Exponentielles Wachstum bis x/h ≈ 10.

4 Schneidentöne (Strahl auf Keil, ohne Resonator)

Brown 1937, „The vortex motion causing edge tones“, Proc. Phys. Soc. London 49, 493–507. Original nicht gelesen. Formel und Gültigkeit stammen aus Vaik et al. 2014 und Miyamoto et al. 2010 [sekundär gelesen]:
- f = 0.466·j·(U − 40)·(1/W − 0.07), mit U in cm/s und W in cm. Stufenfaktoren j = 1, 2.3, 3.8, 5.4.
- Aufbau: δ = 1 mm, Blockprofil, Keil 20°.
- Gültig für U = 120–2000 cm/s (Re ≈ 75–1300), f = 20–5000 Hz und W = 0.31–6 cm (W/δ = 3.1–60). Abweichung höchstens 6 %.
- Laufen höhere Stufen mit, liegt Stufe I ≈ 7 % tiefer. u_conv/u ≈ 0.4.
Vaik, Varga, Paál 2014, „Frequency and phase characteristics of the edge tone, Part I/II“, Periodica Polytechnica Mech. Eng. 58(1), 55–67 und 69–76, DOI 10.3311/PPme.7028 / .7031. Gelesen: Volltexte von pp.bme.hu [primär gelesen].
- Aufbau: Experiment und 2D-CFD (ANSYS CFX, laminar, inkompressibel, Luft 25 °C), δ = 1 mm, Re = 60–2000.
- Ansatz: St = fδ/u = (c₁ − c₂/Re)·(1/(W/δ) − c₃).
- Stufe I, rein: Blockprofil c₁ = 0.4837, c₂ = 12.31, c₃ = 0.005461. Parabelprofil c₁ = 0.5230, c₂ = 11.08, c₃ = 0.004836. Für Brown nennen sie c₁ = 0.4659, c₂ = 12.06, c₃ = 0.007. Stufe II (Block): 1.066 / 27.11 / 0.004157, Stufe III: 1.884 / 19.96 / 0.001261.
- Bei W/δ ≈ 10 ist St_δ(I) ≈ 0.040–0.045, St_δ(II) ≈ 0.10, St_δ(III) ≈ 0.16–0.17.
- Einsatz (Block, W/δ ≈ 10): Stufe I ab Re ≈ 60 intermittierend, stabil ab Re ≈ 100. Stufe II ab Re ≈ 250 (CFD) bzw. 200 (Exp.). Dann sinkt f(I) um ≈ 14 %. Parabelprofil: Stufe I ab Re = 50 (CFD) bzw. ≈ 85 (Exp.), Stufe II ab ≈ 150/180.
- Bei variablem Abstand erscheint Stufe I erst ab W/δ ≈ 3–4, bei höherem Re früher. Stufe II kommt bei W/δ ≈ 7–11 hinzu. Die Stufensprünge zeigen Hysterese.
- Die Phase der Störung wächst nicht linear mit x, die Konvektionsgeschwindigkeit ist also nicht konstant.
- Zusammengefasst aus dem Überblick [sekundär gelesen]: Powell 1961 (Phasenbedingung W = (n + ¼)λ, Schalldruck ∝ U³); Holger, Wilson & Beavers 1977 (Wirbelstraßenmodell, f ∝ W^(−3/2), Phasenoffsets 0.4/0.35/0.5 für Stufe I–III); Nyborg (untere Grenze der n-ten Stufe W/δ > 2n); Jones 1942 (f·W/U ≈ 0.39); Kwon (Konvektion ≈ 0.6·u); Bamberger et al. 2004 (Parabelprofil, f = c·u_max/W mit c = 0.344 ± 0.02 im Exp. und 0.30 ± 0.03 in der CFD).
Stufe I für W/h = 3–6, h = 1 mm [abgeleitet aus den obigen Formeln, ν = 1.5·10⁻⁵ m²/s, U = mittlere Austrittsgeschwindigkeit]:

Formel	U = 5 m/s (Re ≈ 330)	10 m/s (≈ 670)	20 m/s (≈ 1330)
Brown, f·W/U (W/h = 3…6)	0.42–0.41	0.44–0.43	0.45–0.44
Vaik, Block	0.44–0.43	0.46–0.45	0.47–0.46
Vaik, Parabel	0.48	0.50–0.49	0.51–0.50
Beispiel W = 4 mm (Brown)	f ≈ 520 Hz	≈ 1090 Hz	≈ 2220 Hz

Miyamoto et al. 2010 (arXiv:1005.3413) schreibt Browns Formel in SI-Einheiten [sekundär gelesen]. Im 2D-LES-Modell folgt f für V ≤ 8 m/s dem Schneidenton (f ∝ V) [primär gelesen].

Prüfvorschlag LBM: reiner Schneidenton mit h = 1 mm, W = 4–10 mm und Re = 300–1300. Zielwert f·W/U_mittel ≈ 0.43–0.50 in Stufe I. Außerdem prüfen: Einsatz ab Re ≈ 60–100 und nicht unter W/h ≈ 3.

5 Harmonische gegen Labium-Offset

Fletcher & Douglas 1980, „Harmonic generation in organ pipes, recorders, and flutes“, J. Acoust. Soc. Am. 68(3), 767–771. Gelesen: https://newt.phys.unsw.edu.au/music/people/publications/Fletcheretal1980.pdf [primär gelesen].
- Theorie: Bickley-Profil V = V₀sech²(y/b). Der Strahlfluss in die Pfeife ist U(t) = V₀b(1 + tanh[(y₀ + a sin ωt)/b]).
- Für a/b ≪ 1 gilt U_n ∝ (a/b)ⁿ·dⁿ⁻¹V/dyⁿ⁻¹ an y₀. Bei y₀ = 0 verschwinden alle geraden Harmonischen, die ungeraden sind dort maximal. Die n-te Harmonische skaliert wie die n-te Potenz der Grundton-Amplitude.
- Für a/b ≈ 2 (Abb. 3) gibt es Nullstellen der 2. Harmonischen bei y₀ = 0. Die ungeraden Harmonischen bilden ein Plateau um y₀ = 0.
- Die Bernoulli-Nichtlinearität addiert einen offsetunabhängigen Anteil ∝ a². Aus Nullstellen werden dadurch Minima.
- Experiment: Orgelpfeife 40 × 40 mm, 460 mm lang, f ≈ 330 Hz, Ohren, Spalt 1 mm, Aufschnitt 10 mm, 50 Pa. Gemessen wurden die Pegel gegen y₀ über ±1.5 mm (Abb. 4) [primär gelesen, Abb.]:
  - 1. Harmonische: Minimum ≈ −36 dB nahe y₀ ≈ 0 (nominal) gegen Maxima ≈ −8 dB und −13 dB, also ≈ 23–28 dB tief. Die Phase der 2. Harmonischen kippt dort um 180°.
  - Grundton: innerhalb von ≈ 3 dB über −1.5 bis +0.8 mm.
  - 1. Harmonische maximal, 4. minimal nahe y₀ = 0.
  - Die Kurven passen halbquantitativ für a/b ≈ 2. Die Lippen-Schärfe hat keinen Einfluss.
- Blockflöte: Das Labium sitzt nahezu mittig, deshalb sind die geraden Harmonischen schwach. Altblockflöte C5 und D5 bei 100–300 Pa (Abb. 5) [Abb.]: 2. Harmonische ≈ 10–20 dB unter dem Grundton und ab mittlerem Druck meist unter der 3. Ungerade und gerade Harmonische entwickeln sich mit dem Druck fast unabhängig voneinander.
Giordano 2014 [primär gelesen]: Die Geometrie (Labium mittig oder auf Kanalunterkante, 0/1/2 Fasen) ändert die Grundton-Leistung bis Faktor 2 und die 2. und 3. Harmonische um eine Größenordnung oder mehr. Mit zwei Fasen bleibt f₂ in der Ansprache mindestens 10 dB unter f₁. Ein gerader Kanal zeigt dagegen in den ersten 5–10 ms ein inharmonisches f₂, etwa 500 Hz unter 2f₁.
Auvray et al. 2015 [primär gelesen]: Der Index ungerader zu gerader Harmonischen liegt ohne Kopplung bei ≈ −2 dB. Er hängt unter anderem vom Offset ab. Kopplung kann gerade Harmonische um bis zu 20 dB heben.
Yokoyama et al. 2016 [primär gelesen]: Typ S mit kleinerem |y_e| zeigt asymmetrische Strahlschwingung und springt früher ins 2. Register.

Prüfvorschlag LBM: y₀/h zwischen −1 und +1 variieren. Erwartet wird ein scharfes Minimum der 2. Harmonischen bei y₀ ≈ 0 (Tiefe 20–30 dB), ein 180°-Phasensprung dort und ein fast konstanter Grundton.

6 Rohrakustik

6.1 Abstrahlung am offenen Ende (3D)

Silva, Guillemain, Kergomard, Mallaroni, Norris 2009, „Approximation formulae for the acoustic radiation impedance of a cylindrical pipe“, J. Sound Vib. 322, 255–263. Gelesen: arXiv:0811.3625 [primär gelesen]. Die Fits beruhen auf Levine & Schwinger 1948 (Phys. Rev. 73, 383–406) und auf Norris & Sheng 1989 bzw. Zorumski. Für deren Werte gilt [sekundär gelesen].
- Grenzwerte für ka → 0: |R| = 1 − β(ka)² und Δl/a = η. Ungeflanscht: β = ½, η = 0.6133. Unendlich geflanscht: β = 1, η = 0.8216.
- Nicht-kausale Padé-Fits, Fehler unter 2 % für ka < 3: |R| = (1 + a₁(ka)²)/(1 + (β + a₁)(ka)² + a₂(ka)⁴ + a₃(ka)⁶) und Δl/a = η(1 + b₁(ka)²)/(1 + b₂(ka)² + b₃(ka)⁴ + b₄(ka)⁶).
  - Ungeflanscht: a₁ = 0.800, a₂ = 0.266, a₃ = 0.0263, b₁ = 0.0599, b₂ = 0.238, b₃ = −0.0153, b₄ = 0.00150.
  - Geflanscht: a₁ = 0.730, a₂ = 0.372, a₃ = 0.0231, b₁ = 0.244, b₂ = 0.723, b₃ = −0.0198, b₄ = 0.00366.
- Kausale Modelle, Fehler unter 8 % für ka ≤ 2, Zeitkonvention e^(−jωt):
  - R = −(1 − jka/α)^−(ν+1) mit α = 1.2266 und ν = 0.504 (ungeflanscht) bzw. 0.8216 und 0.350 (geflanscht).
  - R = −(1 − n₁jka)/(1 − d₁jka + d₂(jka)²) mit n₁ = 0.167, d₁ = 1.393, d₂ = 0.457 (ungeflanscht) bzw. 0.182, 1.825, 0.649 (geflanscht).
- Ein Korrigendum (hal-01084938) meldet einen Vorzeichenfehler in Gl. (20) (Z_r aus dem Padé-Modell): [nicht verifiziert], nicht gelesen.
- Ausgewertet mit dem Padé-Fit [abgeleitet]:

ka	0.1	0.3	0.5	0.75	1.0	1.25	1.5
\|R\| ungeflanscht	0.995	0.958	0.894	0.797	0.694	0.595	0.503
Δl/a ungeflanscht	0.612	0.604	0.588	0.561	0.531	0.500	0.472
\|R\| geflanscht	0.990	0.920	0.812	0.673	0.554	0.456	0.375
Δl/a geflanscht	0.818	0.789	0.739	0.667	0.599	0.542	0.496

Auvray 2012/2014 rechnet mit Δl ≈ 0.3·Ø bzw. 0.6·a (dünnwandig). Für das Fenster setzt er den Strahlungsfaktor ½ (unendlicher Flansch) statt ¼ an [primär gelesen]. Dalmont, Nederveen & Joly 2001 (JSV 244, 505–534): [nicht verifiziert].

6.2 Zwei-dimensionale Abstrahlung (wichtig für die 2D-LBM)

Miyamoto et al. 2013, Acta Acust. united Acust. 99(1), 154–171, DOI 10.3813/AAA.918599, Anhang A. Gelesen: https://kyutech.repo.nii.ac.jp/record/4644/files/AAUA99_154.pdf [primär gelesen].
- Ebener geflanschter Kanal der Höhe 2a: ΔL²ᴰ(ω) ≈ (a/π)(3 − 2γ_E − 2 ln ka), mit γ_E der Euler-Konstante. Die Näherung gilt für ka < 0.5.
- Die Korrektur divergiert logarithmisch für ω → 0, während die 3D-Korrektur konstant bleibt (8a/3π).
- Für ungeflanscht geben die Autoren (a/π)(2 ln 2π + 2 − 2γ_E − 2 ln ka) an, nach einer zitierten Quelle. Achtung: Das ergäbe größere Werte als mit Flansch, was physikalisch auffällig ist. Bitte prüfen [nicht verifiziert].
- Zahlen: ΔL²ᴰ ≈ 2.5a (6.3 mm) bei a = 2.5 mm und 1000 Hz (ka ≈ 0.046). Weitere Werte [abgeleitet]: ΔL/a = 3.52 (ka = 0.01), 2.05 (0.1), 1.61 (0.2), 1.03 (0.5).
- Der 2D-Reflexionsgrad fällt schon ab ka ≈ 0.01 (3D erst ab ≈ 0.1). Am Mund des 2D-Modells (a = 2.5 mm) werden bei 1000 Hz nur ≈ 83 % der Energie reflektiert, im 3D-Modell (effektiv a ≈ 4 mm) ≈ 99 %. Miyamoto erklärt die zu tiefe 2. Mode im 2D-Modell (2490 statt 2755 Hz) möglicherweise mit diesem kleinen Reflexionsgrad.
- Für die 2D-LBM heißt das: Jede ebene Öffnung, Fenster wie Rohrende, hat eine frequenzabhängige Korrektur. Man darf nicht 0.61a oder 0.82a ansetzen.

6.3 Visko-thermische Wellenzahl im Rohr

Benade-Näherung für große r_v, aus Abel, Smyth & Smith 2003, „A simple, accurate wall loss filter for acoustic tubes“, DAFx-03 London. Gelesen: https://dafx.de/paper-archive/2003/pdfs/dafx53.pdf [sekundär gelesen]. Benade 1968 und Keefe 1984 selbst sind nicht gelesen.
- Γ(ω) = α(ω) + jω/v(ω) mit r_v = a√(ωρ/η) und r_t = ν·r_v, wobei ν = √Pr.
- Für r_v ≫ 1: v = c[1 − (1 + (γ−1)/ν)/(r_v√2)] und α = (ω/c)(1 + (γ−1)/ν)/(r_v√2).
- Für r_v ≪ 1: v = c·r_v/(2√γ) und α = (ω/c)·2√γ/r_v. Die Arbeit gibt außerdem eine gleichmäßige Interpolation an (Gl. 8–12).
- Luftkonstanten bei 26.85 °C: ρ = 1.18 kg/m³, η = 1.85·10⁻⁵ Pa·s, γ = 1.40, c = 347 m/s. Die Tabelle nennt „ν² = 0.841“. Das passt zu √Pr = 0.841, also Pr ≈ 0.708; vermutlich ist die Spalte falsch beschriftet (eigene Einschätzung).
Form nach Chaigne & Kergomard 2016, Kap. 5.5, zitiert in Szwarcberg et al., arXiv:2506.03875 [sekundär gelesen]: e^(−ΓL) = λe^(−ε√s)e(−τs) mit λ = e^(−α₂ℓ_vL/R²), ε = (α₁L/R)√(2ℓ_v/c₀) und τ = L/c₀. Dabei ist α₁ = 1.044, α₂ = 1.080 und ℓ_v = 4·10⁻⁸ m.
- Daraus folgt Γ(ω) = jω/c₀ + (1 + j)(α₁/R)√(ℓ_vω/c₀) + α₂ℓ_v/R² [abgeleitet, s = jω].
- Das stimmt mit der Benade-Form überein: (1 + 0.4/0.841)/√2 = 1.043 ≈ α₁ [abgeleitet].
Konstanten bei 20 °C (Standardwerte, keine Primärquelle aus der Aufgabe):
- c = 343.2 m/s, aus c = 331.3√(1 + ϑ/273.15) [abgeleitet].
- ρ = 1.204 kg/m³, ideales Gas bei 101.325 kPa [abgeleitet]. Die Engineering Toolbox nennt 1.205 [sekundär gelesen].
- η = 1.81·10⁻⁵ Pa·s, Sutherland [abgeleitet]; damit ν = η/ρ ≈ 1.51·10⁻⁵ m²/s.
- γ = 1.40 und Pr ≈ 0.71: Die Engineering Toolbox listet 0.711 bei 0 °C und 0.707 bei 25 °C [sekundär gelesen]. ℓ_v = η/(ρc) ≈ 4.4·10⁻⁸ m [abgeleitet].
- Skordos 1995 rechnete mit ν = 0.15 cm²/s und c = 344 m/s bei 22 °C [primär gelesen].
Zwikker-Kosten selbst und Keefe 1984 (JASA 75, 58–62) mit seinen Konstanten: [nicht verifiziert].

6.4 Mund- bzw. Fensterkorrektur (Blockflöte)

Price et al. 2015 [primär gelesen]: Am Tenorkopf ohne Anblasen wurde die gesamte Mund-Inertanz gefittet. Mit M = ρL/(W·H) ergibt sich L = 8.9 mm, also ≈ 1.8·W, bei W = 4.83 mm und H = 14.7 mm. Nach Verges 2D-Potentialrechnung gilt: Treiber-Inertanz M_d = 0.88ρ/H (M_d/M ≈ 0.46), α_p = 2/π und α_j = 0.38 [sekundär gelesen für Verge].
Auvray 2012 [primär gelesen]: Er nutzt eine Fensterkorrektur „nach Verge“, gibt die Formel aber nicht an [nicht verifiziert]. Dazu kommt die Strahlungsimpedanz Z_r = (ρc/S)[jkΔl + ½(kR_w)²] mit äquivalentem Fensterradius. Das Rohr wird mit Faktor ¼ statt ½ angesetzt.
Ernoult & Fabre 2017 (Acta Acust. 103, 106–116, „Window impedance of recorder-like instruments“), Fabre & Hirschberg 2000 (Acustica 86, 599–610), Fabre, Gilbert, Hirschberg & Pelorson 2012 (Annu. Rev. Fluid Mech. 44, 1–25) und Dequand et al. 2003 (Formel): [nicht verifiziert]. HAL-Kopien liegen hinter Bot-Schutz, die übrigen hinter Paywalls.

Passive Prüfgrößen: - Zen-On-Alt mit Zylinder Ø 19 mm und l = 265 mm (Auvray 2012): f₁ = 564.5 Hz, f₂/f₁ = 2.023, f₃/f₁ = 3.066, Q₁…₃ ≈ 25 / 31 / 35 (siehe 2.1). - Flötenrohr Ø 19 mm, C4: Q = 40–70 (Fletcher 1975) [primär gelesen].

7 Blasdrücke, Strahlgeschwindigkeiten, Intonation

Fletcher 1975, „Acoustical correlates of flute performance technique“, J. Acoust. Soc. Am. 57(1), 233–237. Gelesen: https://newt.phys.unsw.edu.au/music/people/publications/Fletcher1975.pdf [primär gelesen].
- Querflöte, 4 Spieler: Medianer Blasdruck p ≈ 0.008·f mbar, also ≈ 0.8·f Pa (f in Hz), bis ±50 %. Beispiele [abgeleitet]: C4 ≈ 210 Pa, C5 ≈ 420 Pa, C6 ≈ 840 Pa.
- Strahllänge l ≈ 1.8 + 100/√f mm.
- Vibrato 5 Hz mit ≈ 10 % Druckmodulation. Der Grundton ändert sich kaum, die Obertöne werden moduliert.
Price et al. 2015, Abb. 12 [primär gelesen, Abb., digitalisiert]:
- Yamaha-Tenor, 22 °C, Ort 840 mbar. Blasdruck für temperiert gestimmte Töne (A4 = 440 Hz): C4 ≈ 132, D4 ≈ 142, G4 ≈ 220, A4 ≈ 226, B4 ≈ 262, C5 ≈ 244, D5 ≈ 257, E5 ≈ 285, F5 ≈ 328, G5 ≈ 310, A5 ≈ 295, C6 ≈ 345 Pa.
- Spielbereich ≈ 60–750 Pa, mehr lieferte die Anlage nicht.
- Aus den ±10/20/30-Cent-Marken ergeben sich ≈ 25–35 Cent je Druckverdopplung für C4, D4 und E5–G5 sowie ≈ 40–60 für G4–D5 [abgeleitet, ±10 Cent].
Fletcher & Douglas 1980 [primär gelesen]: Altblockflöte C5 und D5 bei 100–300 Pa (Abb. 5).
Terrien 2015 [primär gelesen]: Alt-F4 spielt etwa von 100 bis 900 Pa (Abb. 1). Erstes Register ≈ 350 Hz, zweites ≈ 740 Hz.
Auvray 2012 [primär gelesen, Abb., digitalisiert; Steigungen abgeleitet]:
- 1. Register: f/f₁ steigt von 0.9745 (θ = 8) auf 1.0099 (θ = 15). Das sind +62 Cent bei Druckfaktor 3.5, also ≈ 34 Cent je Verdopplung. Zwischen θ = 10 und 15 sind es ≈ 26.
- 1. Register: θ = 13 → 19 ergibt +26 Cent bei Druckfaktor 2.1, also ≈ 24 Cent je Verdopplung.
- Unterhalb θ ≈ 6 ist der Anstieg sehr steil: f/f₁ geht von 0.5 auf 0.95 zwischen θ = 3 und 6.
Bak 1969 (Acustica 22, 296–299), über Giordano 2014 [sekundär gelesen]: f ∝ u^a mit a ≈ 0.05 für Altblockflöten. Das entspricht f ∝ p^0.025, also ≈ 30 Cent je Druckverdopplung [abgeleitet]. Giordanos 3D-Simulation lieferte a ≈ 0.085, also ≈ 51 Cent.
Yokoyama 2016, Abb. 3 [primär gelesen, Abb.]: Typ S geht im 1. Register von ≈ 700 Hz (8 m/s) auf ≈ 870 Hz (26 m/s). Der Anstieg ist deutlich steiler, weil das Instrument gekürzt ist und die Werte bis in den Einsatzbereich reichen.
Strahlgeschwindigkeiten [primär gelesen]:
- Yamaha-Alt U₀ = 8–40 m/s, laut Autoren etwa der Spielbereich (Yokoyama 2015).
- Sopran C5 mit mittleren 5–15 m/s (Giordano & Saenger 2023).
- Laminarer Recorder-Strahl ≈ 7.5 m/s bei Re = 500 (de la Cuadra 2007).
Martin 1994, Garcia et al. 2011 (NIME) und Vinceslas et al. 2011: [nicht verifiziert], nicht gelesen.

8 Frühere CFD/LBM-Arbeiten

Arbeit	Methode	Geometrie	Auflösung	Re, Mach	Rechenaufwand	Vergleich mit Experiment
Skordos & Sussman 1995, ISMA Dourdan / MIT AI Memo 1535 [primär gelesen]	2D-LBM (zum Vergleich auch FD), adiabatisch, Filter 4. Ordnung gegen Instabilitäten	Sopran, gedackt, 20 cm (Modell 430/1290 Hz, beobachtet ≈ 400/1100 Hz); Kanal 40 × 1 mm, W = 4 mm	Δx = 0.1 mm, 10 Knoten über h; 0.8 Mio Knoten; Δt = 2.17·10⁻⁷ s	physikalisch: ν = 0.15 cm²/s, c = 344 m/s. U = 8–11 m/s, also Re ≈ 540–740 und M ≈ 0.024–0.032 [abgeleitet]	150 000 Schritte ≈ 32 ms, ≈ 2 Tage auf 22 HP-Workstations	Zeitsignal und Spektrum, nur nach Ähnlichkeit gepaart: Simulation 8.1/9.5/11.1 m/s ↔︎ Messung 7.3/11.4/15.6 m/s. Übergang zu 1100 Hz in der Simulation bei kleinerer Geschwindigkeit. Wirbel sammeln sich in 2D über dem Kanal, Oszillation bricht ab
Giordano 2014 [primär gelesen] (2D-Vorarbeit 2013 nicht gelesen)	3D kompressible NS, MacCormack 2. Ordnung + künstliche Viskosität (Jameson)	siehe 1.1; u₀ = 25–45 m/s	Δy = 0.1 mm (10 Zellen/h), Δx = 0.2 mm, Δz = 1 mm; 3·10⁷ Punkte	–	1 ms Klang ≈ 2 h auf 16–48 Kernen; 50–150 ms simuliert	Innenpegel ≈ 130 dB. Gerader Kanal: 2. und 3. Harmonische 2–3× schwächer als bei Ségoufin (Exp.). f₁ ∝ u^0.085 gegen 0.05 bei Bak. In 2D schlug der Strahl nie unter das Labium (Artefakt der 2D-Wirbeldynamik)
Miyamoto et al. 2013 [primär gelesen]	kompressible LES (OpenFOAM), 2D und quasi-3D (10 mm, 50 Punkte quer)	siehe 1.1; V = 2–40 m/s	2D 78 492 Zellen, 3D 3.9 Mio; Zellen am Mund ≈ 10⁻⁴ m; Δt = 10⁻⁷ s	–	3D: 0.03 s ≈ 30 Tage auf 10 Threads	V ≤ 8 m/s Schneidenton (f ∝ V). 10–22 m/s rastet auf die 1. Mode ein, z. B. 806 Hz (2D) bzw. 795 Hz (3D) bei 12 m/s gegen 900 Hz Resonanz. Ab 24 m/s dominiert die nächste Mode. In 2D leben großskalige Wirbel lang (inverse Energiekaskade)
Yokoyama, Miki, Onitsuka, Iida 2015, JASA 138(2), 858–873, DOI 10.1121/1.4926902 [primär gelesen]	3D-DNS kompressible NS, kompakte FD 6. Ordnung, Filter 10. Ordnung, Volume-Penalization	Yamaha-Alt gekürzt, 3 Tonlöcher	Δx/h = Δy/h = 0.04 (25 Zellen/h), Δz_min/h = 0.11; 8.2·10⁷ Punkte; Δt = 5.8·10⁻⁸ s	U₀ = 8–32.8 m/s, M = 0.024–0.099, Re = 680–2790	230 h auf 100 Knoten (je 16 Prozessoren)	PIV-Mittelprofil bei x/h = 0.77: Abweichung ≈ 8 % (Halbmodell). f gegen M richtig, auch der Sprung bei M = 0.087. Pegel und Harmonische im Fernfeld bei M = 0.031 getroffen (f_p = 694/747/791/1631 Hz bei M = 0.024/0.031/0.050/0.099)
Yokoyama et al. 2016, ECCOMAS, S. 1315–1324 [primär gelesen]	wie oben	2 Yamaha-Köpfe (S, A)	wie oben	U₀ = 8–65 m/s	–	Geschwindigkeit des Registerwechsels richtig: S früh, A spät
Kühnelt 2010, DAGA Berlin [primär gelesen] (ISMA 2003/04/07 und Diss. 2017 nicht gelesen)	3D-MRT-LBM	gedackte Block- und Querflöte, Resonator 6 × 1 × 1 cm, Labiumabstand 7 mm	nicht angegeben [nicht verifiziert]	Re = 300–800, St = fL/U = 0.15–0.25; V_jet bis 56 m/s	–	qualitativ: Wirbelschall-Analyse, maximale Leistung bei 47 m/s
Giordano & Saenger 2023, Forum Acusticum Turin, DOI 10.61782/fa.2023.0036 [primär gelesen]	3D-FD wie Giordano 2014	YRS-20 Sopran	0.1 mm am Mund	–	–	Hysterese bei ≈ 11 m/s (Exp. ≈ 10 m/s). Pitot-Drücke an den mittleren Sonden auf 30 % genau. Übergang bei Pitot-Druck ≈ 35 Pa wie im Experiment
Shi, da Silva, Scavone 2015, ViennaTalk [primär gelesen] (Klarinette, kein Flue)	2D-D2Q9-LBM	Mundstück	dx = 85 µm, 14 Zellen über dem Spalt, τ = 0.532	Re_sim ≈ 140 statt real 4762	–	Beleg für die in der LBM übliche Re-Absenkung. Pfeifen-Paper Shi et al. ISMA 2014: [nicht verifiziert]
Vaik et al. 2014 (Schneidenton) [primär gelesen]	2D laminar, inkompressibel (ANSYS CFX)	δ = 1 mm	Gitterstudie in einer früheren Arbeit (nicht gelesen)	Re = 60–2000, M = 0.003–0.09	–	Strouhal-Zahlen der Stufen I–III innerhalb der Messgenauigkeit

Folgerungen für die 2D-LBM: - 10 Zellen pro h ist der historische Mindeststandard (Skordos, Giordano). 25 Zellen pro h war für die DNS nötig, um PIV-Profile auf 8 % zu treffen. - Reale Re (500–2700) und Mach (0.02–0.1) sind erreichbar, aber teuer. - Typische 2D-Artefakte: Wirbelstau über dem Kanal, Strahl schlägt zu selten nach innen, schwache Rohrresonanzen wegen der 2D-Abstrahlung (6.2).

9 Jet-Drive-Quellmodell

Formeln wie bei Auvray et al. 2012 (Gl. 9–16) und Auvray et al. 2014 (Gl. 3–5) gelesen [primär gelesen]. Die Urheber sind Verge et al. 1994/1997 und Fabre, Hirschberg & Wijnands 1996, deren Originale nicht gelesen sind [nicht verifiziert]. Terrien 2015 nutzt dieselbe Form [primär gelesen].

Rezeptivität:        η₀(t)/h = v_ac(t)/U_B                       (de la Cuadra)
Strahl am Labium:    η(t) = (h·e^{α_i W}/U_B) · v_ac(t − τ),   τ = W/c_p
                     α_i = β/h (β ≈ 0.3),  c_p = γ·U_B (γ ≈ 0.4)
Flüsse:              Q_in(t) = H ∫_{−∞}^{y₀−η(t)} U(y) dy,   Q_in = ⟨Q_in⟩ + Q₁
Profil:              U(y) = U₀ sech²(y/b),  U₀ = U_B,  b = 2h/5
                     (Poiseuille am Austritt → Bickley bei gleicher Mittellinie und gleichem Impuls)
Quelle:              Δp = −(ρ δ_d / S_w) dQ₁/dt,   S_w = W·H
                     ⇒ Δp_src(t) = (ρ δ_d b U_B / W) · d/dt [ tanh( (η(t) − y₀)/b ) ]
Effektiver Abstand:  δ_d = (4/π)·√(2hW)    (Verge, konforme Abbildung; Quellen je h hinter der Labiumspitze)
Wirbelverlust:       Δp_los(t) = −½ ρ (v_ac(t)/α_vc)² · sgn(v_ac(t)),   α_vc ≈ 0.6 (scharfe Kante)
Gesamt:              Δp = Δp_src + Δp_los,   v_ac = Y(ω)·Δp  (Fensteradmittanz, modal)
Linear, Phase:       −ω τ + π/2 + arg Y(ω) = 2nπ    (n = 0: Hauptregime, n ≥ 1: äolisch)

Bei der Flöte ist α_vc ein Fitparameter: 0.7 in Auvray 2012, 0.6 in Auvray 2014 und Terrien 2015. Der Bereich 0.5–0.9 wurde untersucht.
Fletcher & Douglas 1980 schreibt den Strahlfluss pro Breite als U(t) = V₀b(1 + tanh[(y₀ + a sin ωt)/b]) [primär gelesen].
Price 2015 nennt Verges Kopplungsfaktoren α_p = 2/π und α_j = 0.38, die Treiber-Inertanz M_d = 0.88ρ/H und den Strahlweg W + d inklusive Fasentiefe [primär gelesen]. Zur Kontrolle [abgeleitet]: ρδ_d/(WH) mit h = 1.09 mm und W = 4.83 mm gibt ≈ 0.86ρ/H, passend zu 0.88ρ/H.
Gültigkeit: W/h > 2–2.5 für die 1. Strahlmode (Dequand 2003 Abstract; Auvray 2014: (W/h)* ≈ 2.3) und u₀/(fW) > 5 bei W/h = 4 [primär/sekundär gelesen].

10 Nicht verifiziert bzw. nicht zugänglich

Verge et al. 1997 I/II (JASA 101, 2914–2924 und 2925–2939), Verge et al. 1994 (JASA 95 und Acta Acust. 2), Verge 1995 (Diss. TU/e, hinter Cloudflare): nur über Auvray und Price zitiert.
Ségoufin et al. 2000 (Volltext; nur Abstract über OpenAlex), Lyons 1981, Martin 1994, Bak 1969 (nur über Giordano), Brown 1937 (über Vaik und Miyamoto), Powell 1961, Holger et al. 1977, Bamberger et al. 2004 (über Vaik).
Nolle 1998, Yoshikawa 1998, de la Cuadra 2005 (Diss.), Coltman 1968 (über Fletcher & Thwaites), Fletcher 1976 (PDF vorhanden, nur auf Schlagworte durchsucht).
Levine & Schwinger 1948, Norris & Sheng 1989, Dalmont et al. 2001, Keefe 1984, Zwikker & Kosten, Chaigne & Kergomard 2016 (über Silva bzw. Szwarcberg/Abel). 20-°C-Konstanten nur als Standard- oder Tabellenwerte.
Fabre, Hirschberg & Wijnands 1996, Fabre & Hirschberg 2000, Fabre et al. 2012 (Annu. Rev.), Dequand 2003 (Volltext), Ernoult & Fabre 2017: Formeln zur Fensterkorrektur nicht gesehen.
Kühnelt (ISMA-Papers, JASA-Abstract 2006, Diss. 2017), Giordano 2013 (2D), Shi, da Silva, Scavone 2014 (Pfeifen-LBM), Nagy, Rucz, Szabó 2022 (JSV 527, 116857: Orr-Sommerfeld und CFD einer Tenorblockflöte, nur Abstract über OpenAlex): Gitter, Re und Ergebnisse nicht gelesen.
Die von Miyamoto angegebene ungeflanschte 2D-Mündungskorrektur ist physikalisch auffällig, siehe 6.2.

11 Gelesene Quellen (URLs)

Auvray, Fabre, Lagrée 2012: http://www.lmm.jussieu.fr/~lagree/TEXTES/PDF/auvray11.pdf
Auvray, Ernoult, Fabre, Lagrée 2014 (JASA 136(1), 389–400, DOI 10.1121/1.4875716): http://www.lmm.jussieu.fr/~lagree/TEXTES/PDF/auvrayernoult14.pdf
Auvray et al. 2015 (Vokaltrakt): https://arxiv.org/pdf/1601.05545
Terrien et al. 2015: https://arxiv.org/pdf/1403.7487
de la Cuadra, Vergez, Fabre 2007: https://arxiv.org/pdf/0811.0333
Fletcher & Thwaites 1979: https://newt.phys.unsw.edu.au/music/people/publications/Fletcheretal1979a.pdf
Fletcher & Douglas 1980: https://newt.phys.unsw.edu.au/music/people/publications/Fletcheretal1980.pdf
Fletcher 1975: https://newt.phys.unsw.edu.au/music/people/publications/Fletcher1975.pdf
Price, Johnston, McKinnon 2015: https://arxiv.org/pdf/1502.02170
Vaik, Varga, Paál 2014 I/II: https://pp.bme.hu/me/article/download/7028/6724 und https://pp.bme.hu/me/article/download/7031/6725
Miyamoto et al. 2010 (arXiv): https://arxiv.org/pdf/1005.3413
Miyamoto et al. 2013: https://kyutech.repo.nii.ac.jp/record/4644/files/AAUA99_154.pdf
Silva et al. 2009: https://arxiv.org/pdf/0811.3625
Abel, Smyth, Smith 2003: https://dafx.de/paper-archive/2003/pdfs/dafx53.pdf
Szwarcberg et al. (Chaigne-Kergomard-Konstanten): https://arxiv.org/pdf/2506.03875
Yokoyama et al. 2015: https://ec.me.tut.ac.jp/yokoyama/pub/2015/_pdf_archive_JASMAN_vol_138_iss_2_858_1
Yokoyama et al. 2016: https://files.eccomasproceedia.org/papers/eccomas-congress-2016/8547.pdf
Giordano 2014: https://aurora.auburn.edu/bitstream/handle/11200/48529/JASA_recorder_2014.pdf
Giordano & Saenger 2023: https://par.nsf.gov/servlets/purl/10519574
Skordos & Sussman 1995: https://groups.csail.mit.edu/mac/users/pas/p/aim1535.pdf
Kühnelt 2010: https://www.pub.dega-akustik.de/DAGA_2010/data/articles/000373.pdf
Shi, da Silva, Scavone 2015: https://viennatalk2015.mdw.ac.at/proceedings/ViennaTalk2015_submission_32.pdf
Abstracts: Ségoufin 2000 über api.openalex.org; Dequand 2003 über https://research-portal.uu.nl/en/publications/simplified-models-of-flue-instruments-influence-of-mouth-geometry/
Luft-Prandtl-Zahl: https://www.engineeringtoolbox.com/air-prandtl-number-viscosity-heat-capacity-thermal-conductivity-d_2009.html