Validierungsbericht: Strömungslabor Blockflöte

Stand: 20. Oktober 2026. Alle Zahlen stammen aus Läufen dieses Stands (Rohdaten in validation/results/, Auswertung mit den Skripten in validation/). Literaturwerte mit Quellen und Zuverlässigkeitsangaben: literatur.html.

Geprüfte Konfiguration (Standard der App): Sopran-Mundstück (Kernspalt h = 1 mm, 10 mm lang, Aufschnitt W = 4 mm, Labium 15°, Mundbreite 12 mm, Bohrung Ø 13 mm), Gitter 125 µm (8 Zellen je Kernspalt), Zeitschritt 210 ns, echte Luft (20 °C). Löser: Lattice-Boltzmann D2Q9 mit hybrid-rekursiver Regularisierung (HRR, σ = 0,98), Smagorinsky C = 0,1 außerhalb des Kernspalts, Zerfallszone (10 ν ab 3–6 mm Abstand von der Strahlbahn), Außenrand auf Atmosphärendruck, 1D-Luftsäule mit Wand- und Abstrahlverlusten.

Hartes Ziel aus dem Plan: live im Browser mindestens 1 Schwingungsperiode pro Sekunde Rechenzeit bei echter Reynolds- und Machzahl. Erreicht: 112 000–140 000 Zeitschritte/s, also 24–29 ms Klang pro Sekunde, ≈ 13–16 Perioden des Grundtons pro Sekunde (Apple M5 Pro, WebGPU). Re = U·h/ν ≈ 640 (60 Pa) bis 2500 (800 Pa), Ma bis 0,12.

Übersicht

1 Implementierung gegen CPU-Referenz

reference_lbm.py programmiert den GPU-Schritt unabhängig nach (Python/Numba, float64): Pull-Streaming mit Halfway-Bounce-Back, HRR-Kollision mit Smagorinsky und Zerfallszone, absorbierende Zonen, Druckeinlass mit Ein-/Ausströmunterscheidung, offene Ränder, Kopplungsebene. Testgeometrie: verkleinerter Blockflötenkopf (6240 Zellen) mit Druckrampe bis 400 Pa und vorgegebener Rohrwelle.

Die Restabweichung entspricht der Rundung (GPU float32). Der Test hat während der Entwicklung zweimal angeschlagen (fehlende laminare Zone in der Referenz, veränderte Randbedingung) und so seinen Zweck erfüllt.

2–3 Schallausbreitung und Kopplung an die Luftsäule

Gedacktes Rohrstück (30 mm, 2D) mit Gaußpuls an der Kopplungsebene: - Hin- und Rücklauf entspricht einer effektiven Länge von 30,04 mm (geometrisch 29,94 mm bis zur Halfway-Wand); die Kopplungsebene wirkt also 0,1 mm (0,8 Zellen) weiter außen. - Reflexionsgrad 0,9998 (500 Hz), 0,9956 (2 kHz), 0,987 (10 kHz): die Verluste stammen von der Wandreibung im 2D-Kanal.

Mit angekoppelter Bohrung (Ø 13 mm, 250 mm, Wand- und Abstrahlverluste) stimmen die Resonanzen des Gesamtsystems mit der Leitungstheorie überein (299,32 / 900,24 / 1501,16 / 2104,34 / 2707,52 Hz beidseitig; Abweichung höherer Moden ≤ 1,2 Cent, also unter einer FFT-Stufe).

Zur Kausalität: Keefes Näherung der Wandverluste ist unvollständig in Real- und Imaginärteil entwickelt. Bezogen auf die verlustfreie Impedanz ρc/S erzeugt sie einen sofortigen Reflex (≈ 0,2 % bei 500 Hz) mit ≈ 0,7 % Gesamtgewicht vor dem eigentlichen Echo. Die Reflexion wird deshalb auf die verlustbehaftete Rohrimpedanz bezogen; die Wandverluste werden als konsistente Reihe in (1 − i)/r_v geführt (Abweichung vom exakten Zwikker–Kosten-Ergebnis < 10⁻⁴ ab 5 Hz).

4–6 Strahl, Mündung, Resonanz

• Mundraum mit Gesamtdruck p_m, Kernspalt mit gerundetem Eingang: Die Strahlgeschwindigkeit an der Kernspaltmitte folgt Bernoulli (Tabelle oben). In einer frühen Version stand der statische Druck direkt am Kanaleingang; der Strahl war dann fast doppelt so schnell wie nach Bernoulli (42,7 statt 22,3 m/s bei 300 Pa).
• Passive Reflexion des Mundstücks (Puls ohne Anblasen): |R| = 0,972 bei 500 Hz, Mündungskorrektur 17,0 mm, unabhängig vom Gitter (17,1 mm mit 12 Zellen). Eine schallschluckende Randzone senkte |R| auf 0,73 und dämpfte die Luftsäule so stark, dass der Strahl nicht einrastete; sie ist deshalb entfernt.
• Passive Resonanzen der Standardkonfiguration: 573,0 Hz (Q ≈ 36), 1152 Hz (Q ≈ 52), 1734 Hz (Q ≈ 64). Zum Vergleich Querflöte Q = 40–70 (Fletcher 1975), Auvray-Instrument Q ≈ 25/31/35.
• Selbsterregter Ton bei 60 Pa: 569,7 Hz, also 10 Cent unter der passiven Resonanz.

7 Gitterkonvergenz (60 Pa, eingeschwungen ab 150 ms)

Tonhöhe und Strahl sind konvergiert, Lautstärke und Obertöne noch nicht vollständig. Auf feinen Gittern dauert das Einschwingen länger (zuerst Schneidenton, dann Grundton); im echten Instrument beschleunigt Turbulenz das Einrasten.

8–11 Register, Schwellen, Hysterese

Druckrampe 20 → 800 → 20 Pa mit 390 Pa/s. θ = U_B/(f₁W) mit U_B aus dem Anblasdruck und f₁ = 573 Hz (passiv).

Die Schwellen sind gitterkonvergiert (1 → 2 und 2 → 1 auf 1–2 % zwischen 8 und 12 Zellen); der Unterschied zur Messung ist also eine Eigenschaft des 2D-Modells, kein Auflösungsfehler. Rampengeschwindigkeit und Modellannahmen: Abschnitt 17.

Das Modell bildet alle Phänomene ab: Ansprache, steilen Tonhöhenanstieg kurz über der Schwelle, Sprung in die Oktave (und weiter in die Duodezime), Hysterese beim Zurücknehmen. Die Schwellen des Überblasens liegen aber bei etwa der halben dimensionslosen Strahlgeschwindigkeit. Ursachenforschung: - Die Geometrie des Instruments erklärt einen großen Teil: Aus dem eingeschwungenen 1. Register springt der Nachbau mit Auvrays 46 mm langem, verjüngtem Kernspalt und Ø-19-mm-Rohr in 2D erst bei θ = 10–11, in 3D bei 13–14 (Abschnitt 18.6; aus der Ruhe angeblasen in 2D schon bei θ ≈ 8,5). Der Rücksprung 2 → 1 bleibt in beiden bei 8–10. - Am angeregten Freistrahl (gegenphasige Druckanregung wie bei de la Cuadra) laufen Störungen nahe dem Austritt mit ≈ U und erst ab x/h ≈ 3 mit 0,45–0,68·U. Bei W/h = 4 liegt der ganze Strahl in diesem Austrittsbereich. Im Jet-Drive-Modell gilt an der Resonanz θ ≈ 4/γ (γ = c_p/U): Eine im Mittel größere Laufgeschwindigkeit verschiebt Resonanzlage und Registerwechsel zu kleinerem θ. - Frühere Rechnungen: Skordos & Sussman 1995 (2D-LBM) fanden den Übergang zur höheren Mode bei kleinerer Geschwindigkeit als im Experiment; bei Miyamoto et al. 2013 (2D- und quasi-3D-LES) dominiert die nächste Mode ab ≈ 24 m/s (θ ≈ 5). Die vollständig dreidimensionale DNS von Yokoyama et al. 2015 trifft den Sprung dagegen.

Bewertung: Das harte Ziel „Überblasschwelle im Bereich der Messung“ ist verfehlt. Die Abweichung ist kein Implementierungsfehler (Prüfung 1). Am Sopran-Kopf hebt die 3D-Rechnung (Abschnitt 18) die Schwelle nur auf θ = 8–9; am Nachbau des gemessenen Instruments erreicht das 3D-Modell 13–14 gegen 15–16, der Rücksprung bleibt aber bei 8–10 statt 12–13 (18.6). Für den Unterricht sind die Zusammenhänge richtig; absolute Überblasdrücke des Sopran-Modells sind etwa um den Faktor 3–4 zu klein, am 3D-Nachbau um den Faktor 1,3 (1 → 2) bzw. ≈ 2 (2 → 1).

12–14 Strahl und Schneidenton

Freier Schneidenton (Kernspalt 10 mm, Keil 20°, W = 4 mm, mit Zerfallszone):

Die Frequenz wächst proportional zur Strahlgeschwindigkeit. Für Parabelprofile berichten Bamberger et al. 2004 f·W/u_max = 0,344 ± 0,02 (Experiment) und 0,30 ± 0,03 (2D-CFD); zitiert nach Vaik et al. 2014, Original nicht gelesen. Browns Formel (flaches Profil) liegt bei 0,44. Ohne Zerfallszone ist das Schneidentonsignal breitbandig und als Messgröße unbrauchbar.

Angeregter Freistrahl (60 Pa, Anregung 0,3 Pa, Sondenpaare an den Strahlrändern): Anfachung μ ≈ 935 m⁻¹ (300 Hz) bzw. 951 m⁻¹ (600 Hz), gemessen 400–1000 m⁻¹ (Fletcher & Thwaites 1979). Lokale Laufgeschwindigkeit c_p/U: 1,22 → 0,95 → 0,68 (300 Hz) und 0,90 → 0,61 → 0,45 (600 Hz) zwischen x = 0,5 und 3,5 mm. Die hohen Werte nahe am Spalt sind die erwartete Nahfeldantwort des Strahls, auch in der Messung vorhanden (19.1).

15 Klangfarbe gegen Labiumversatz

60 Pa, erstes Register, Endkonfiguration. Pegel der Teiltöne relativ zum Grundton:

Wie von Fletcher & Douglas (1980) gemessen und aus dem tanh-Strahlprofil erklärt: Bei mittiger Kante ist der 2. Teilton am schwächsten und der 3. am stärksten; der Grundton bleibt nahezu konstant. Das Minimum ist mit ≈ 6 dB aber flacher als die ≈ 25 dB der Orgelpfeife (dort 50 Pa, Aufschnitt 10 mm, Strahlauslenkung a/b ≈ 2; nach Fletcher & Douglas füllen Bernoulli-Nichtlinearitäten das Minimum teilweise auf).

16 Nachbau Auvray-Instrument

Zen-On-Altkopf auf Messingzylinder (Ø 19 mm, 265 mm ab Kernspaltaustritt), W = 4 mm, h = 1 mm, Kernspalt 46 mm, von 1,5 auf 1,0 mm verjüngt. Passiv: f₁ = 538,8 Hz (Messung 564,5 Hz), f₂/f₁ = 2,05 (2,023), f₃/f₁ = 3,14 (3,066), Q = 41/63/72 (≈ 25/31/35). Die zu tiefe Grundfrequenz kommt von der 2D-Mündungskorrektur (46,5 mm; im echten Instrument aus f₁ rückgerechnet ≈ 33 mm): In 2D verengt sich die Strömung von der Bohrung zum Fenster nur in einer Richtung. Zum Ton: 100 Pa ergibt 531 Hz im ersten Register, 200 Pa liegt im Übergang, 500 Pa ergibt 1111 Hz im zweiten. Diese Einzelläufe beginnen aus der Ruhe; aus dem eingeschwungenen 1. Register (Stufen wie in 18.3) springt der 2D-Nachbau erst bei θ = 10–11, der 3D-Nachbau bei 13–14 (Abschnitt 18.6).

17 Empfindlichkeit gegen Modellannahmen und Rampengeschwindigkeit

Druckrampen 20 → 500 → 20 Pa, 8 Zellen je Kernspalt. Grundlinie: Zerfallszone 10 ν, Abstand 3–6 mm von der Strahlbahn.

• Die Überblasschwelle hängt kaum von der Zerfallszone ab: θ₁→₂ = 7,3–7,8 in allen Varianten (±4 %). Der Unterschied zur Messung (θ ≈ 15–16) entsteht also nicht durch diese Modellannahme.
• Die Breite der Hysterese hängt dagegen von der Dämpfung ab (2 → 1 bei θ = 6,0–7,2).
• Mit nur 5-facher Zähigkeit wird die 2D-Strömung bei hohem Druck wieder chaotisch; 10-fach ist das Minimum.
• Rampengeschwindigkeit: Schnellere Rampen verschieben den Sprung 1 → 2 nach oben (+13 % zwischen 80 und 390 Pa/s), wie von Terrien et al. 2015 gemessen (Kunstmund +45 % zwischen 10 und 400 Pa/s; ihr Modell +15,5 %). Nach ihrem Gesetz p_dyn = p_stat + K·a^(2/3) folgt als statische Schwelle 1 → 2 ≈ 154 Pa (θ ≈ 7,0); der Rücksprung liegt bei ≈ 151 Pa (θ ≈ 6,9) und hängt kaum von der Rampe ab. Im statischen Grenzfall ist die Hysterese des Modells also fast verschwunden (Δθ ≈ 0,05), während Auvray einen breiten bistabilen Bereich misst (Δθ ≈ 3,7). Die bei schnellen Rampen sichtbare Hysterese ist überwiegend dynamisch.

18 Dreidimensionale Rechnung des Mundbereichs: Ist das frühe Überblasen ein 2D-Artefakt?

Das 2D-Modell springt bei θ ≈ 7–7,7 ins 2. Register, Auvray et al. messen am Zen-On-Kopf θ ≈ 15–16 (Abschnitt 8–11). Frühere 2D-Rechnungen zeigen denselben Befund, die vollständig dreidimensionale DNS von Yokoyama et al. 2015 nicht. Geprüft wird deshalb dasselbe Mundstück mit dreidimensionaler Strömung, sonst unverändert: gleiche Kollision, gleiche Auflösung, gleiche 1D-Luftsäule, gleiches Messprotokoll.

Modell (neue Dateien; die 2D-App ist unverändert): - src/lbm3d.js: Lattice-Boltzmann D3Q27 mit derselben Kollision wie in 2D: HRR (σ = 0,98), Gleichgewicht in Produktform (vollständige Hermite-Basis des Gitters), Nichtgleichgewicht rekursiv bis 6. Ordnung, Smagorinsky C = 0,1 außerhalb von Mundraum und Kernspalt, verschobene Verteilungen in float32. Keine Zerfallszone – in 3D zerfallen Wirbel von selbst. - src/geometry3d.js: der 2D-Längsschnitt über b = 12 mm fortgesetzt, mit Seitenwänden. Kernspalt 12 × 1 mm (10 mm lang), Fenster 12 × 4 mm zwischen 2,5 mm hohen Seitenwänden, Labium 15°, Bohrungskanal 12 × 11,06 mm (Fläche π·6,5² mm²) bis zur Kopplungsebene 22 mm hinter der Kante, daran dieselbe 1D-Luftsäule wie in 2D (gekoppelt über das Querschnittsmittel von w⁺). Freie Luft als Quader über dem Kopf (x = −6 … 14 mm, 6 mm hoch, 20 mm breit), davor Wand (Gesicht). - Gitter 125 µm (8 Zellen je Kernspalthöhe), Zeitschritt 210 ns, 7,8 Mio. Zellen (3,2 Mio. durchströmt). - Rechenaufwand: 205–240 Zeitschritte/s auf dem M5 Pro (≈ 740 Mio. Zellaktualisierungen/s, ≈ 78 % der gemessenen Speicherbandbreite von 256 GB/s), also ≈ 35 min Rechenzeit je 100 ms Klang. Lange Läufe ohne Browser über Node.js mit Dawn-WebGPU (validation/run3d.mjs, Sicherungspunkte nach jeder Druckstufe).

Offene Ränder – hier verhielt sich 3D anders als 2D: - Mit statischem Atmosphärendruck an allen offenen Rändern (wie in 2D) divergierte die Rechnung bei θ = 8 nach 19 ms. Schon bei 15 ms saß die größte Geschwindigkeit des Gebiets (62 m/s bei 18,5 m/s Strahl) auf einer Randzelle, zuletzt 220 m/s. Ein Rand mit statischem Druck führt bei Rückströmung Energie zu (einströmende Luft bringt ρu²/2 mit), und ohne Zerfallszone erreichen die Wirbel die Ränder. - Ein „Öffnungsrand“ (bei Einströmung Gesamtdruck gleich Umgebungsdruck und nur die Normalkomponente der Geschwindigkeit) war selbst instabil: Ohne Anblasen wuchsen Störungen von 10⁻⁵ m/s binnen 1 ms auf 10 m/s. - Verwendet wird: bei Einströmung p = −ρu²/2 (Gesamtdruck gleich Umgebungsdruck), Geschwindigkeit wie innen; dazu eine 2,5 mm dicke Schicht mit bis zu 100-facher Zähigkeit vor den offenen Rändern, mindestens 3,5 mm vom Fenster entfernt. Damit bleibt der Außenraum ruhig (±3 Pa), der Strahl hat 19,3 m/s (2D: 19,15 m/s). Beide Maßnahmen sind akustisch neutral (18.2).

18.1 Implementierung gegen CPU-Referenz

reference_lbm3d.py programmiert den Schritt unabhängig und bewusst anders nach: Hermite-Polynome mit ihren Normen direkt summiert (GPU: Produktform und separable Transformation), Terme höherer Ordnung durch Abzählen aller Indexpaare, Wände aus dem Zelltyp statt aus der Bitmaske. Prüfgeometrie: verkleinerter Kopf (19 584 Zellen) mit allen Randarten, Zerfallszone, Druckrampe und vorgegebener Rohrwelle.

Chrome und Node rechnen nicht bitgleich (relativ 2,5·10⁻⁶ verschieden), liegen aber gleich nah an der Referenz. Ein unterbrochener und vom Sicherungspunkt fortgesetzter Lauf ist bitgleich mit einem ununterbrochenen.

18.2 Passive Mündung

Gaußpuls an der Kopplungsebene ohne Anblasen (6 ms), Auswertung mit passive3d.py (Mündung × Leitungstheorie der Bohrung).

Die 3D-Mündungskorrektur hängt von der Größe des Außenraums ab: Der Atmosphärenrand in wenigen Millimetern Abstand verkürzt die äußere Korrektur. Mit dem Abstand R des Deckels vom Fenster (6,5 / 8,5 / 12,5 mm) passt δ = δ∞ − c/R zu allen drei Werten; für einen unbegrenzten Außenraum folgt δ∞ ≈ 16 mm, also fast wie in 2D. Reflexionsgrad, Güten und Inharmonizität stimmen in 2D und 3D praktisch überein; der Rückstromrand und die Randschicht ändern daran nichts (|R| 0,9773 statt 0,9770, Korrektur 14,01 statt 14,02 mm). Die Luftsäule „sieht“ in 2D und 3D fast dasselbe Mundstück; Unterschiede im Registerverhalten kommen aus der Strömung. θ wird mit dem eigenen f₁ jedes Modells gebildet.

18.3 Register und Schwellen

Protokoll. Druckstufen statt Rampen: je 40 ms (erste Stufe 60 ms) konstanter Druck, dazwischen 2 ms Übergang, bewertet wird das Register in den letzten 40 % jeder Stufe. Dieselbe Stufenfolge für 2D (θ mit f₁ = 573 Hz) und 3D (f₁ = 578,75 Hz): aufwärts aus der Ruhe von θ = 5 bis 17, abwärts bis 5, dann aus dem eingeschwungenen 1. Register in Schritten von 0,5 bis 8 und in Schritten von 1 bis 17. Dazu Einzelläufe aus der Ruhe bei θ = 8, 11, 14, 17 (2D 100 ms, 3D 27–50 ms). Rampen mit zwei Geschwindigkeiten und das a^(2/3)-Gesetz wurden in 3D nicht verwendet: Eine Rampe wie in 2D (80–390 Pa/s, 4–20 s Klang) kostete 25–120 h Rechenzeit; die Stufen grenzen die statischen Schwellen direkt ein. In 2D liefert dieses Protokoll für 1 → 2 θ = 7–7,5, passend zur Rampen-Extrapolation (θ ≈ 7,0) aus Abschnitt 17.

• Der Sprung 1 → 2 kommt in 3D bei θ = 9 nach 17 ms, in 2D bei θ = 7,5 nach 20 ms. Der Schalldruck im 1. Register sättigt in 3D ab θ = 7 bei ≈ 180 Pa (θ = 7 / 7,5 / 8: 178 / 178 / 179 Pa).
• Zwischen θ = 6,5 und 8 entscheidet in 3D die Vorgeschichte: Beim ersten Absenken ging das Modell bei θ = 8 aus dem
  3. direkt ins 1. Register, bei θ = 6,5 aber wieder ins 2.; aus der Ruhe angeblasen erklingt bei θ ≥ 6,5 immer ein höheres Register. Der Rücksprung 2 → 1 ist deshalb nur auf 5–6,5 eingegrenzt (beide Modelle).
• Die letzte Stufe des Laufs (θ = 17) hatte wegen einer Laufzeitgrenze des Steuerprogramms nur 20 statt 40 ms; das Register war schon ab θ = 15 dasselbe.
• Rohdaten: results/s3dD, s3dE, s3dF (3D, fortlaufend), st2d_E, st2d_F (2D), s3dC, c3d_th*, c2d_th* (Einzelläufe); Pläne in validation/plans/. Rechenzeit der 3D-Treppe (1200 ms Klang): 6,7 h.

18.4 Wie dreidimensional ist die Strömung?

• Die Strahlauslenkung kurz vor der Kante (Quergeschwindigkeit an zwei Sonden in z = 0 und z = −3 mm) ist bei der Tonfrequenz über die Breite fast vollständig kohärent (Kohärenz 0,92–0,995 in allen Stufen); die breitbandigen Anteile zwischen den Teiltönen nur zu 0,3–0,6. Die tonerzeugende Strahlschwingung bleibt im Wesentlichen zweidimensional.
• Bei hohem Druck zerfällt der Strahl im Fenster in Längswirbel: Querströmung u_z bis ±6 m/s mit 1,5–2 mm Wellenlänge (θ = 17; Effektivwert 13 % der Geschwindigkeit in der Strahlebene, bei θ = 5: 7 %).
• Der Ton ist in 3D deutlich sauberer: Rauschabstand zwischen den Teiltönen −49 … −65 dB gegen −33 … −53 dB in 2D (gleiche Stufen). In 2D modulieren langlebige Wirbel den Strahl; in 3D zerfallen sie hinter der Kante.

18.5 Bewertung

Ist das frühe Überblasen ein 2D-Artefakt? Nur zu einem kleinen Teil (am Sopran-Kopf; am gemessenen Instrument 18.6). - Die dritte Dimension hebt die quasistatische Schwelle 1 → 2 von θ = 7–7,5 auf 8–9 (+15 bis +20 %) und verbreitert den Bereich, in dem beide Register stabil sind. Der Rücksprung 2 → 1 bleibt bei θ = 5–6,5. Zur Messung am Zen-On-Kopf fehlt weiterhin etwa ein Faktor 2 (1,8 für 1 → 2 gegen θ ≈ 15–16, 2,2 für 2 → 1 gegen θ ≈ 12–13). - Deutlich ändert 3D die höheren Register: Ins 3. Register springt das Modell erst bei θ ≈ 14–17 statt 9,5–13, und der Ton ist 10–25 dB rauschärmer, weil Wirbel hinter der Kante zerfallen, statt den Strahl wie in 2D chaotisch zu modulieren. Die Akustik der Mündung ist in 2D und 3D praktisch gleich (18.2). - Die tonerzeugende Strahlschwingung bleibt über die Breite kohärent (18.4). Das passt zur Theorie: Die stärkste Instabilität eines ebenen Strahls ist zweidimensional (Squire-Theorem). Die in 2D gefundene zu große Laufgeschwindigkeit der Störungen nahe dem Kernspaltaustritt (Abschnitt 12–14) ist deshalb vermutlich eine Eigenschaft des Strahlprofils, nicht der Dimension (in 3D nicht nachgemessen). - Die verbleibende Abweichung muss andere Ursachen haben. Kandidaten, nicht geprüft: (1) die Form des Kernspalts – gemessen wurde an einem 46 mm langen, verjüngten Kernspalt, das Modell hat 10 mm geraden; nach Ségoufin et al. 2000 senken kurze Kernspalte den Überblasdruck deutlich – inzwischen geprüft (18.6): Kernspalt und Rohr des gemessenen Instruments heben die Schwelle 1 → 2 in 2D auf θ = 10–11 und in 3D auf 13–14, den Rücksprung 2 → 1 aber nur auf 8–10; (2) Geschwindigkeitsprofil und Störungslaufzeit am Kernspaltaustritt; (3) die Auflösung (8 Zellen je Kernspalthöhe; in 3D nicht verfeinert, in 2D waren die Schwellen zwischen 8 und 12 Zellen konvergiert, die 3D-DNS von Yokoyama rechnete mit 25); (4) gemeinsame Vereinfachungen beider Modelle: Mundraum ohne Vokaltrakt, laminarer Kernspalt, Smagorinsky-Modell. - Einordnung: Gemessene Überblasschwellen streuen stark zwischen Instrumenten – Zen-On-Alt mit langem Kernspalt θ ≈ 15–16 (Auvray), mit Griffen 13–16 (Terrien); gekürzter Yamaha-Alt θ ≈ 9 (Yokoyama et al. 2015, Experiment und 3D-DNS; abgeleitet aus M = 0,087, W = 4,5 mm, f₁ ≈ 750–790 Hz); Yamaha-Sopran ≈ 5 mit mittlerer Strahlgeschwindigkeit (Giordano & Saenger 2023). Das 3D-Modell liegt damit im Bereich realer Instrumente, aber nicht beim Zen-On-Kopf, an dem gemessen wurde. - Nicht gemacht: Rampen mit zwei Geschwindigkeiten (in 3D 25–120 h, durch Stufen ersetzt); Gitterverfeinerung in 3D (5-facher Aufwand); Variation des Turbulenzmodells in 3D (nur C = 0,1). Den 3D-Nachbau des Auvray-Instruments, den direktesten Test der verbleibenden Abweichung, beschreibt 18.6.

18.6 Nachbau des Auvray-Instruments in 3D

Gemessen wurde am Zen-On-Altkopf auf einem Messingzylinder (Abschnitt 16), gerechnet wurde in 18.1–18.5 das Sopran-Mundstück. Ob die verbleibende Abweichung am Instrument liegt, prüft am direktesten ein 3D-Nachbau des gemessenen Instruments mit dem Protokoll aus 18.3.

Modell. Der 2D-Nachbau aus Abschnitt 16, wie in 18 über b = 12 mm fortgesetzt: Kernspalt 46 mm lang, von 1,5 auf 1,0 mm verjüngt, Fenster 12 × 4 mm, Labium 15°, Bohrungskanal 12 × 23,6 mm (Fläche π·9,5² mm²). Die Kopplungsebene liegt 22 mm hinter der Kante (2D-Nachbau: 40 mm), daran das 1D-Rohr Ø 19 mm bis 265 mm ab Kernspaltaustritt (239 mm). Der Mundraum ist an der Kopfoberfläche gekappt (5,25 statt 6 mm hoch). Ränder, Randschicht, Auflösung und Kollision wie in 18. 24,7 Mio. Zellen (5,5 Mio. durchströmt; Sopran-Kopf 7,8 / 3,2 Mio.), 123 Zeitschritte/s, also ≈ 65 min Rechenzeit je 100 ms Klang; die Treppe (1020 ms Klang) lief 11,2 h. Die kürzere Kopplungsebene ist akustisch gleichwertig: Mit 40 mm ergibt der Pulstest f₁ = 548,25 statt 548,5 Hz und eine Mündungskorrektur von 41,0 statt 40,8 mm.

Passive Mündung (Pulstest wie 18.2, 8 ms):

Die dritte Dimension verkürzt die Mündungskorrektur um 6 mm (Sopran-Kopf: 3 mm, 18.2) und hebt f₁ um 31 Cent; zur Messung fehlen 50 Cent. Vermutlich, weil auch der 3D-Kanal nur so breit ist wie das Fenster: Die Strömung verengt sich von der Bohrung zum Fenster nur in einer Richtung (im Instrument: Rohr Ø 19 mm, Fenster 12 mm breit). Die Güten liegen in beiden Modellen um 60–100 % über der Messung. θ wird wie in 18 mit dem eigenen f₁ gebildet.

Register und Schwellen. Stufen wie in 18.3: θ = 5 aus der Ruhe (60 ms), dann in Schritten von 1 bis 17 und zurück bis 5 (je 40 ms). Der 2D-Nachbau rechnete denselben Plan, dazu einmal mit 120 ms je Stufe. Register wie in 18.3 aus dem stärksten Teilton.

• Übergang im 3D-Nachbau. Bis θ = 12 wächst im 1. Register der 3. Teilton (bei θ = 12: 1 dB unter dem Grundton); seine Frequenz 3 · 1,033 f₁ liegt nahe der 3. Resonanz (3,114 f₁). Bei θ = 13 bleibt die Schwingung periodisch mit f ≈ 1,03 f₁, der
  3. Teilton ist aber 2–3 dB stärker als der Grundton, und der 2. Teilton wächst von −15 auf −3 dB. Bei θ = 14 springt das Modell nach ≈ 8 ms ins 2. Register. Nach der Periodendauer (Grundfrequenz, wie bei der Messung) liegt 1 → 2 also bei 13–14, nach dem stärksten Teilton bei 12–13. Abwärts bleibt das 2. Register bis θ = 9 (Grundton zuletzt −6 dB) und springt bei θ = 8 nach 15 ms ins 1. Register. Bis θ = 17 kein 3. Register (2D-Nachbau: ab 17 bzw. 14).
• Haltezeit. Mit 120 statt 40 ms je Stufe liegen im 2D-Nachbau beide Schwellen bei 9–10; die Hysterese der 40-ms-Treppe ist dort also überwiegend dynamisch (wie in Abschnitt 17). Im 3D-Nachbau wurden die Stufen θ = 10 und 9 der Abwärtstreppe von ihren Sicherungspunkten aus auf 120 ms verlängert: Bei θ = 10 bleibt das 2. Register stabil (≈ 300 Pa), bei θ = 9 springt es nach 85 ms ins 1. Register. Quasistatisch liegt 2 → 1 in 3D also bei 9–10, wie in 2D. Für 1 → 2 in 3D nicht nachgerechnet; nach dem 2D-Befund läge die Schwelle um ≈ 1 tiefer.
• Frühere Angabe. Abschnitt 16 nannte für den 2D-Nachbau θ ≈ 8,5, ermittelt aus Einzelläufen aus der Ruhe. Aus der Ruhe wählt das Modell das höhere Register früher (wie in 18.3); aus dem eingeschwungenen 1. Register springt es erst bei 10–11.
• Zerlegung in 2D (40 ms, je eigenes passives f₁): Sopran-Kopf auf Ø-19-mm-Rohr (f₁ = 540,75 Hz): 1 → 2 bei 8–9, 2 → 1 bei 8–9; Auvray-Kernspalt auf Sopran-Rohr (f₁ = 571,75 Hz): 1 → 2 bei 9–10, 2 → 1 bei 7–8. Rohr und Kernspalt heben die Schwelle also beide, zusammen von 7–7,5 auf 10–11.
• Tonhöhe im 1. Register. Gemessen erreicht der Ton f₁ erst bei θ ≈ 11,6 (bei θ = 5 liegt er 160 Cent darunter), alle Modelle schon bei θ = 5–7 (3D-Nachbau bei θ = 5 37 Cent darunter). Im Jet-Drive-Modell gilt dort θ = 4/γ mit γ = c_p/U_B: gemessen γ ≈ 0,35, in den Modellen 0,57–0,8. Die Störungen auf dem Strahl laufen im Modell also zu schnell (vgl. 12–14), in 2D wie in 3D. Die dritte Dimension verschiebt die Tonhöhenkurve kaum (f₁ bei θ = 7,0 statt 6,7).
• Rohdaten: results/a3dS, a3dH9, a3dH10 (3D), a2dS, a2dS_lang, v2d_kopf, v2d_kanal (2D), Pulstests pa3d_22, pa3d_40, pv2d_kopf, pv2d_kanal; Pläne in validation/plans/ (a3dS, a3dH, a2dS_lang, v2d_), Auswertung results/a3dS_auswertung.txt.

Bewertung. - Am gemessenen Instrument kommt das 3D-Modell an die Schwelle 1 → 2 heran: θ = 13–14 gegen 15,1–16 gemessen, also 10–15 % darunter (nach dem stärksten Teilton und bei langer Haltezeit eher 20–25 %); am Sopran-Kopf waren es 8–9. Der Faktor 2,1 zwischen 2D-Sopranmodell und Messung schrumpft durch die Geometrie des Instruments auf 1,5 (2D-Nachbau) und durch die dritte Dimension auf 1,15 (3D-Nachbau); am Nachbau wirkt die dritte Dimension mit +25–30 % stärker als am Sopran-Kopf (+15–20 %). Die zu frühe Schwelle 1 → 2 war also etwa zur Hälfte ein Vergleich verschiedener Instrumente und zu einem Drittel ein 2D-Artefakt; ≈ 15 % bleiben offen. - Der Rücksprung 2 → 1 bleibt zu tief: θ = 8–9 (40 ms) bzw. 9–10 (120 ms) in 2D und 3D gegen 12,3–13,2. Die dritte Dimension ändert ihn wie am Sopran-Kopf nicht. Der Bereich, in dem beide Register stabil sind, ist deshalb im 3D-Nachbau ähnlich breit wie gemessen (9–12 bzw. 10–12 gegen 12,3–16), liegt aber zu tief. - Das passt zu Auvrays Modellanalyse (Literatur 2.1): Dort bestimmen die nichtlinearen Wirbelverluste an der Kante θ₁→₂, nicht aber θ₂→₁. Die dritte Dimension verändert Ablösung und Zerfall der Wirbel an der Kante (18.4) und damit 1 → 2; Rücksprung und Tonhöhenkurve hängen an der Laufzeit der Störungen auf dem Strahl, und diese bleibt in allen Modellen 1,6- bis 2,3-mal zu kurz. Der wichtigste offene Punkt ist damit Kandidat (2) aus 18.5: Geschwindigkeitsprofil und Störungslaufzeit am Kernspaltaustritt. (Überholt durch Abschnitt 19: Der freie Strahl ist richtig; mit kalibriertem Resonator ist die wirksame Laufzeit ≈ 25 % zu kurz, nicht 1,6- bis 2,3-mal.) - Die zu hohen Güten (Q₁ = 41 gegen ≈ 25) treten in beiden Modellen gleichermaßen auf; ihr Einfluss auf die Schwellen ist nicht geprüft. (Inzwischen geprüft, 19.2 und 19.4: kein Einfluss auf die Schwellen 1 ↔︎ 2.) - Nicht gemacht: 3D mit längerer Haltezeit für 1 → 2 (aufwärts aus dem 1. Register, ≈ 3–4 h Rechenzeit); runde Bohrung mit schmalerem Fenster; Gitterverfeinerung in 3D; Messung der Störungslaufzeit auf dem Strahl in 3D.

19 Ursachenanalyse: Strahl, Resonator oder Kante?

Offen nach 18.6 sind der Rücksprung 2 → 1 (θ = 9–10 gegen 12,3–13,2) und die Tonhöhenkurve im 1. Register. Bisher vermutet (12–14, 18.6): Die Störungen laufen auf dem Strahl zu schnell. Geprüft wurde in dieser Reihenfolge: - 19.1: der freie Strahl gegen drei Messungen; - 19.2: die Resonatorgüte; - 19.3: eine Phasenbilanz aus der Tonhöhe; - 19.4: ein auf die Messung kalibrierter Resonator; - 19.5: Fasen am Kernspalt; - 19.6: ein feineres Gitter im Nachbau; - 19.7: die Strahlantwort im Instrument selbst; - 19.8: die Schwelle 1 → 2 in 3D mit langer Haltezeit.

Die Bewertung steht in 19.9.

19.1 Freier Strahl gegen drei Messungen

Der Prüfstand folgt de la Cuadra, Vergez & Fabre 2007 (lab.html: cuadra(), ausgewertet mit analyze_cuadra.py und vergleich_cuadra.py). - Kanal und Strahl: 27 mm langer Kanal, h = 1 mm, 65 Pa, laminar gerechnet, Re ≈ 500. Am Austritt läuft der Strahl 7,5 m/s (8 Zellen je h) bis 8,5 m/s (32 Zellen); das grobe Gitter bremst ihn im langen Kanal um 11 %. - Anregung: quer, durch gegenphasige Druckwellen an den offenen Rändern. v_ac/U liegt bei 0,1–0,3 % (Messung 0,5 %), die Frequenz bei 150–1200 Hz. - Messgröße: Die Auslenkung kommt aus der Differenz der Längsgeschwindigkeit zweier Sonden 0,6 mm über und unter der Strahlachse, an 12 Orten zwischen x = 0,5 und 15 mm. Ein Kontrolllauf ohne Strahl zeigt: Der akustische Anteil an diesem Signal ist kleiner als 5 %.

Die Phasen der Simulation sind auf die Strouhalzahl der Messung umgerechnet (Faktor St_Messung/St_Simulation = 0,8–0,9). Die Rayleigh-Lösung (stability.py, Chebyshev-Kollokation, am Bickley-Strahl auf ±0,01 gegen die Tabelle von Mattingly & Criminale geprüft) liegt 10–20 % unter Simulation und Messung; sie vernachlässigt die Zähigkeit.

• Der freie Strahl ist richtig. Alle drei Prüfer bestätigen Laufgeschwindigkeit, Anfachung, Phasenverlauf längs des Strahls und die absolute Phase gegen die Schallschnelle.
  • Das 8er-Gitter trifft die Messung am besten (Abweichung unter 7 %).
  • Feinere Gitter sammeln in den ersten Millimetern 15–30 % weniger Phase (16, 24 und 32 Zellen; ab 16 konvergiert).
• Die „zu schnellen Störungen am Austritt“ aus 12–14 sind kein Fehler. Nahe am Spalt setzt sich die Auslenkung aus zwei Teilen zusammen (Fletcher 1976, Gl. 8; Nolle 1998):
  • der Mitbewegung des Strahls mit der Schallschnelle;
  • einer anwachsenden Welle, die am Spalt gegenphasig dazu beginnt.
  Deshalb wächst die Phase dort langsamer, und die scheinbare Laufgeschwindigkeit ist hoch. De la Cuadra beschreibt dasselbe („higher convection velocity at short distances from flue exit“); in seinen Daten liegt c_p in den ersten 3 mm bei ≈ 0,7 U. Ein Fit von ξ = a(1 − e^{(μ − iω/c_p)x}) (Nolle) an die Simulation ergibt c_p/U = 0,37–0,47 und μh = 0,52–0,68 (8 und 16 Zellen, Restfehler 9–13 %).
• Überholte Angaben: Die Auswertung in 12–14 und die Angabe „1,6- bis 2,3-mal zu kurz“ in 18.6 hatten die lokale Laufgeschwindigkeit ab x = 0,5 mm mit dem Mittelwert 0,4 U verglichen.

19.2 Resonatorgüte

Die Güten beider Nachbauten liegen 60–100 % über der Messung (18.6). Ein Zusatzverlust je Umlauf senkt sie auf 25 / 30 / 32 (Messung 25 / 31 / 35). Er ist proportional zur Frequenz und trägt die zugehörige minimalphasige Dispersion (src/bore.js, extra.d1 = 0,049).

Die Güte erklärt den Abstand nicht: Die Schwellen 1 ↔︎ 2 und die Tonhöhe bleiben gleich; nur das 3. Register ist schwerer zu erreichen. Rohdaten: results/q2d_S, results/q2d_L.

19.3 Phasenbilanz aus der Tonhöhe

Im linearen Jet-Drive-Modell (Auvray 2012, Gl. 17) legt die Laufzeit τ der Störung vom Spalt zur Kante die Frequenz fest: ωτ = π/2 + arg Y(ω). Für eine einzelne Resonanz mit Güte Q₁ folgen daraus (phasenbilanz.py): - die Laufzeitphase ωτ = π − atan2(r/Q₁, 1 − r²) mit r = f/f₁; - eine wirksame Laufgeschwindigkeit γ_eff = c_p/U_B = 2πr/(θ·ωτ).

Für die Messung ergibt sich mit Q₁ = 25,2 γ_eff = 0,31–0,39, nahezu konstant über θ = 4–15. Das gemessene Instrument verhält sich also wie ein Jet-Drive-Modell mit c_p ≈ 0,35 U_B und Phase 0 am Spalt.

* 2. oder 3. Teilton stärker als −15 dB.

• Bei θ = 5–6, wo der Grundton den Klang beherrscht, ist die wirksame Laufzeit in den Modellen 10–30 % kürzer als gemessen.
• Oberhalb von θ ≈ 7 steigt die Tonhöhe der Modelle schneller, als irgendeine Strahllaufzeit erklären kann: γ_eff ≥ 1 hieße c_p ≥ U_B. Zwei Dinge kommen dort zusammen:
  • 2. und 3. Teilton wachsen.
  • Die Resonanzen der Nachbauten liegen weiter auseinander als gemessen: f₂/f₁ = 2,04–2,05 und f₃/f₁ = 3,11–3,14 gegen 2,023 und 3,066.
  Die Obertöne ziehen den Grundton nach oben. Im 3D-Nachbau steigt er bei θ = 12 bis f = 1,033 f₁ ≈ f₃/3. Mit gemessener Akustik verschwindet der Effekt bis θ = 7 (19.4); ein Sprung zwischen θ = 7 und 8 bleibt.
• Gleiche Steigung, versetzte Lage: Oberhalb θ = 7 steigt die 3D-Tonhöhenkurve wie die gemessene (0,66 % je Einheit θ), liegt aber 3 % (53 Cent) höher.

19.4 Auf die Messung kalibrierter Resonator

Um Akustik und Strahl zu trennen, wurde das 1D-Rohr an der Kopplungsebene so abgeglichen, dass der Nachbau die gemessenen Resonanzen und Güten hat (kalibrierung.py; Mund und Strömungsgebiet unverändert). Dazu kommen zwei Faktoren zur Rohrreflexion: - der Zusatzverlust aus 19.2; - eine frequenzabhängige Verkürzung Δl(f) = 14,7 mm · exp(−(f/1236 Hz)²) + 2,3 mm. Sie gleicht die zu große, frequenzabhängige 2D-Mündungskorrektur aus.

Δl ist gerade und glatt in f, damit die Reflexionsfunktion kausal bleibt. Der früheste Anteil liegt 0,28 ms nach der Anregung, der Hauptimpuls bei 1,3 ms; vor 0,9 ms liegen nur 5·10⁻⁴ der Energie. Das Ergebnis (extra.dl in src/bore.js und boremodel.py, beide geprüft gleich):

Treppe wie 18.6 (40 ms je Stufe, Lauf kal2d_S), θ jetzt mit f₁ = 564,5 Hz wie in der Messung:

• Mit gemessener Akustik wird die Phasenbilanz sauber. Bei θ = 5–7 verhält sich das Modell wie ein Jet-Drive-Modell mit konstantem γ_eff = 0,48; die Messung ergibt 0,34–0,39. Die Sprünge von γ_eff in den unkalibrierten Läufen (19.3) kamen also von der höheren Güte und den gespreizten Resonanzen.
• Was bleibt, liegt bei Strahl und Kante: Die wirksame Laufzeit zwischen Spalt und Kante ist um ≈ 25 % zu kurz.
• Die Schwellen bleiben zu tief. 1 → 2 sinkt sogar leicht: Liegt die 2. Resonanz näher bei 2f₁, koppelt der 2. Teilton stärker. Das 3. Register erreicht das Modell bis θ = 17 nicht mehr.
• Sprung im 1. Register: Zwischen θ = 7 und 8 springt die Tonhöhe um 3 % über f₁, abwärts ebenso. In der Messung steigt sie dort nur um 0,6 %. Den Sprung zeigen alle 2D-Läufe; der 3D-Nachbau steigt glatter.

19.5 Fasen am Kernspalt

Getestet wurden 45°-Fasen an beiden Kanten der Mündung, 0,5 und 1 mm tief (geo.chamfer, im 8er-Gitter 4 bzw. 8 Zellen). Läufe ch2d_S und ch2d_S10, 40 ms je Stufe, sonst wie 18.6. θ wird weiter mit W = 4 mm gebildet (Abstand der Blockvorderkante von der Kante).

• Der Strahl löst am Beginn der Fasen ab, sein Weg zur Kante wird um die Fasentiefe länger (+12 bzw. +25 %).
• Die Fase wirkt wie ein längerer Strahlweg. Auf dem Prüfstand (19.1, 1 mm Fasen, 300 Hz, 8 Zellen; Läufe cuC_n8_f300_*) bleibt die Phase der Strahlauslenkung bei gleichem Abstand vom Ablösepunkt bis auf ±10° unverändert. Die Amplitude sinkt um 25–45 %. An der Kante (4 mm hinter der Blockvorderkante) kommen so ≈ 35° Phase hinzu.
• Die Schwellen 1 ↔︎ 2 steigen um etwa eine bzw. zwei Einheiten θ (+10 bzw. +20 %). Ohne Resonatorabgleich holt das Modell mit 1 mm Fasen damit etwa die Hälfte des Abstands zur Messung auf. Mit abgeglichenem Resonator ist der Gewinn kleiner und streut zwischen den Haltezeiten (19.9).
• Die Tonhöhe sinkt bei gleichem θ. Mit 1 mm Fasen trifft die wirksame Laufgeschwindigkeit bei θ = 5–6 die Messung (γ_eff ≈ 0,38). Bei θ = 5 schwingt das Modell dann nur noch schwach (22 Pa); die Ansprechschwelle steigt.
• Ob das Zen-On-Instrument Fasen hat und wie tief, ist nicht bekannt; Auvray 2012 nennt keine. An Blockflöten sind Fasen üblich (Yamaha-Tenor 0,7 mm, Price et al. 2015; Yamaha-Alt ≈ 1 mm, Yokoyama et al. 2015). Ebenso offen ist, ob Auvrays W = 4 mm ab Blockvorderkante oder ab Fasenbeginn gemessen ist.

19.6 Feineres Gitter im Nachbau

16 statt 8 Zellen je Kernspalthöhe; Stufen θ = 5–9 wie in 18.6, 40 ms je Stufe (Lauf n16_2dS, 8-fache Rechenzeit).

• Das feinere Gitter macht den Strahl im langen Kanal 4–7 % schneller.
• Die Tonhöhe steigt bei θ = 5–8 um 0,5–1 % (10–20 Cent). Das Modell rückt also eher von der Messung weg, wie es der Prüfstand erwarten lässt (19.1: feinere Gitter sammeln nahe am Spalt weniger Phase).
• Das 8er-Gitter liegt nur zufällig etwas näher an der Messung.

19.7 Strahlantwort im Instrument

Gemessen wurde wie am Prüfstand: Sondenpaare bei y = h/2 ± h/2 an vier Orten zwischen Spalt und Kante (geo.jetProbes). Der 2D-Nachbau lief bei konstantem θ = 7 und θ = 5 (Läufe js2d_t7, js2d_t5, je 70 ms). Bezug ist die Schallschnelle quer am Strahlort, bestimmt in zwei Schritten (insitu_strahl.py): - Ein passiver Pulstest ohne Anblasen (pj_auvray) liefert die Schallschnelle je Volumenfluss ins Rohr. - Im angeblasenen Lauf wird dieser Volumenfluss an der Kopplungsebene gemessen.

• Der Strahl antwortet im Instrument wie frei. Bei θ = 7 weicht die Phase höchstens 4° vom Prüfstand ab. Kante und Rohr ändern Rezeptivität und Laufzeit also nicht merklich.
• Das Modell ist in sich stimmig. Auf die Kante (x = 4 mm) hochgerechnet liegt die Auslenkung ≈ 65° hinter der Schallschnelle. Dazu passt die Phasenbilanz des Modells bei θ = 7 (19.3: ωτ ≈ 53–81°). Das Modell verhält sich also wie ein Jet-Drive-Modell mit seinem eigenen, richtig gerechneten Strahl.
• Das gemessene Instrument verlangt mehr Verzögerung. Bei θ = 7 braucht es ωτ ≈ 148°, also rund 80° mehr zwischen der Schallschnelle am Spalt und dem Antrieb an der Kante.
  • Mit der gemessenen Antwort freier Strahlen (19.1) ist das nicht vereinbar.
  • Die gängigen Jet-Drive-Modelle (Verge 1997, Auvray 2012) treffen die Messung trotzdem. Sie lassen die Störung am Spalt in Phase mit der Schallschnelle beginnen und von dort mit 0,35–0,4 U_B laufen. Ein freier Strahl antwortet an der Kante deutlich früher: im Modell (frei und im Instrument) um 65–80°, nach Coltmans Messwerten (19.1) um 70–130°. Diese Modelle setzen die fehlende Verzögerung also in die Rezeptivität, ohne sie dort zu messen.
• Bei θ = 5 ist die Messung weniger sauber: Der Strahl schlägt so stark aus, dass das Sondensignal nahe der Kante nicht mehr linear ist (Amplitude bei 3,11 mm nur 0,3 des Werts bei 0,44 mm).

19.8 Schwelle 1 → 2 in 3D mit langer Haltezeit

Geplant war ein Lauf (a3dU) vom Sicherungspunkt a3dH9 aus: θ = 9 im 1. Register, dann aufwärts je 80 ms. - Ergebnis: Der Zustand bleibt bei θ = 9 im 1. Register, springt aber bei θ = 10 nach wenigen Millisekunden ins 2. Register und bleibt dort (θ = 11 und 12). - Warum das keine Aufwärtsschwelle ist: Der Startpunkt kam aus dem 2. Register zurück. Sein 2. Teilton ist fast so stark wie der Grundton (−1 dB). Auf dem Aufwärtsast der 40-ms-Treppe hatte das 1. Register bei θ = 12 dagegen einen schwachen 2. Teilton (−17 dB). - Folgerung: Das 1. Register hängt also von der Vorgeschichte ab, und dieser Lauf misst nur, wie weit der Rücksprung 2 → 1 trägt. Eine echte Aufwärtsschwelle mit langer Haltezeit bräuchte in 3D eine Treppe aus der Ruhe (≈ 13 h). Sie ist nicht gerechnet. - Der Lauf wurde bei θ = 12 angehalten (t = 1142 ms, 13,5 h Rechenzeit); ein Sicherungspunkt liegt vor.

19.9 Bewertung

Übersicht aller Varianten: 2D-Nachbau, wenn nicht anders angegeben; Haltezeit je Stufe 40 / 120 ms.

Oberhalb von θ ≈ 12 wechselt das 2D-Modell in allen Varianten unregelmäßig zwischen den Registern. Die Register- zuordnung nach dem stärksten Teilton ist dort unsicher, und die Schwellen streuen um ±1.

Gesichert: - Der Strahl ist richtig gerechnet. Frei stimmt er mit drei unabhängigen Messungen überein, im Instrument antwortet er wie frei (19.1, 19.7). Die Deutung „Störungen laufen am Kernspalt zu schnell“ (12–14, 18.6) war falsch; die hohe scheinbare Laufgeschwindigkeit nahe am Spalt ist die normale Nahfeldantwort. - Die Akustik erklärt die zu tiefen Schwellen nicht. Güte und Lage der Rohrresonanzen ändern sie kaum (19.2, 19.4). Mit gemessener Akustik verhält sich das Modell im 1. Register wie ein Jet-Drive-Modell mit konstantem γ_eff ≈ 0,48; gemessen sind 0,31–0,39. - Die Abweichung liegt zwischen Spalt und Kante: Die wirksame Laufzeit dort ist ≈ 25 % zu kurz. Ein feineres Gitter vergrößert die Abweichung eher (19.6).

Teilweise erklärt: - 1 mm tiefe Fasen verlängern den Strahlweg (19.5). Sie bringen die Tonhöhe bei θ = 5 auf den Messwert (0,910 gegen 0,91) und heben die Schwellen um 1–2 Einheiten θ, also um ein Viertel bis die Hälfte des Abstands. - Ob das gemessene Instrument solche Fasen hat, ist nicht bekannt. - Im 3D-Nachbau liegt 1 → 2 schon ohne Fasen bei 13–14. Dritte Dimension, Fasen und kalibrierter Resonator zusammen sind nicht gerechnet; ob sich die Effekte addieren, ist offen.

Offen, mit Hypothese: - Befund: Oberhalb θ ≈ 6 bleibt die gemessene wirksame Laufgeschwindigkeit bei 0,31–0,38. Die des Modells steigt auch mit Fasen und kalibriertem Resonator auf 0,45–0,55. - Kandidat: der Übergang des realen Strahls zur Turbulenz. - Im Instrument erreicht der Strahl Re = U_B·h/ν ≈ 700 bei θ = 5 und ≈ 2400 an der Überblasschwelle. - Turbulente Strahlen tragen Störungen langsamer: de la Cuadra 2007 misst c_p/U ≈ 0,3 bei Re = 3000 gegen 0,4 bei Re = 500. - Das 2D-Modell rechnet den Strahl laminar, die 3D-Rechnung löst den Übergang mit 8 Zellen je h nicht auf. - In 2D nicht prüfbar: Ein freier 2D-Strahl bei 300 Pa (Re ≈ 1200) zerfällt auf dem Prüfstand schon nach 1–2 mm in große, nicht abklingende Wirbel (Läufe cuR_*, cu_steady_p300). Ein sauberer linearer Verstärker wie bei 65 Pa ist er dann nicht mehr.

Für die App: Die Mechanismen der Tonerzeugung sind abgebildet: Rückkopplung zwischen Strahl und Rohr, Ansprache, Tonhöhenanstieg, Registerwechsel und Hysterese. Der Strahl ist quantitativ geprüft. Die genauen Registerschwellen eines bestimmten Instruments hängen dagegen an Details, die das Modell nicht kennt (Fasen) oder in 2D nicht abbilden kann (Turbulenz im Strahl).

Angehalten: 3D-Nachbau mit kalibriertem Resonator und 1 mm Fasen. Plan plans/a3dK.json: θ = 5 → 17 → 8, 40 ms je Stufe, θ mit f₁ = 564,5 Hz. Gestartet am 23.10. um 02:47, angehalten um 09:25 bei t = 606 ms (Abwärtsast, θ = 15). Fortsetzung vom Sicherungspunkt: node validation/run3d.mjs validation/plans/a3dK.json --resume (noch ≈ 3,4 h). - Kalibrierung für 3D: kalibrierung.py pa3d_22 0.239 ergibt d₁ = 0,0472 und Δl = 10,3 mm · exp(−(f/1306 Hz)²) + 0,25 mm. Damit liegen die Resonanzen bei 564,5 Hz, 2,023 und 3,066, die Güten bei 25 / 30 / 32. - Dafür sind neu: Fasen in src/geometry3d.js (chamfer, über die ganze Breite) und extra in validation/session3d.js. - Zwischenstand (23.10., 07:30, Aufwärtsast fertig): 1. Register bis θ = 12, Sprung ins 2. Register bei θ = 13 nach 20 ms. Die Schwelle 1 → 2 liegt also bei 12–13 (3D ohne Abgleich und Fasen 13–14, Messung 15,1–16). - f/f₁ bei θ = 5 / 6 / 7 / 8 / 10 / 12: 0,885 / 0,984 / 0,997 / 1,006 / 1,026 / 1,033. - Oberhalb θ = 6 liegt der Ton damit wie ohne Abgleich ≈ 3 % über der Messung. - In 3D heben Fasen und gemessene Akustik zusammen die Schwelle 1 → 2 also nicht.

Nicht gemacht: - 3D-Treppe aufwärts mit langer Haltezeit (≈ 13 h); - Strahlübergang in 3D mit feinerem Gitter (≥ 16 Zellen je h, etwa 16-facher Aufwand); - Fasengeometrie des Zen-On-Kopfs (Ausmessen oder Nachfrage bei den Autoren).

Rohdaten zu Abschnitt 19: results/ mit cuF_*, cuN_*, cuC_*, cuR_*, cu_steady_* (Prüfstand), q2d_*, kal2d_*, kalch2d_*, ch2d_*, n16_2dS, js2d_*, pj_auvray (Nachbau), a3dU (3D). Skripte: vergleich_cuadra.py, phasenbilanz.py, kalibrierung.py, insitu_strahl.py, analyze_cuadra.py, make_figures_jet.py, stability.py.

19.10 Nachtrag: Strahlprüfstand in 3D

Geprüft wurde die Turbulenz-Hypothese aus 19.9 am freien Strahl in 3D (run3d.mjs --jet3d, Geometrie buildJet3D in src/geometry3d.js, Auswertung analyze_jet3d.py). - Aufbau: 16 Zellen je h (Gitter 62,5 µm). Gerader Kanal, 15 mm lang und 6 mm breit, mit Seitenwänden. Freier Strahl mit offenen Rändern; Anregung durch gegenphasige Druckwellen oben und unten wie in 2D. - Sonden: Paare bei x = 1–7 mm in der Mittelebene. - Zustrom: völlig ruhig, ohne künstliche Störungen.

• Laminar bis Re ≈ 1600, nicht langsamer: Bis dahin bleibt der simulierte Strahl laminar, und die Störungen werden relativ zur Strahlgeschwindigkeit eher schneller, weil die Grenzschichten dünner werden. Erst bei Re ≈ 2000 wird er von selbst unruhig.
• Gegenbefund aus der Messung: Fletcher & Thwaites (1979) sahen ihre Strahlen schon oberhalb von Re ≈ 1000 turbulent, de la Cuadra (2007) misst für turbulente Strahlen c_p ≈ 0,3 U.
• Bewertung: Das Modell erzeugt den langsameren, gestörten Strahl bei ruhigem Zustrom nicht von selbst. Die Hypothese ist damit weder bestätigt noch widerlegt. Prüfbar wäre sie nur mit Störungen im Zustrom (Atem, Wandrauigkeit); das wäre eine zusätzliche Modellannahme, deren Stärke man an Messungen anpassen müsste. Hier endet die Untersuchung.
• Auffällig, nicht geklärt: Bei 65 und 300 Pa liegt U_c 4–11 % über der Bernoulli-Geschwindigkeit. c_p ist deshalb auf das gemessene U_c bezogen.

Entwicklungsprotokoll der wesentlichen Korrekturen